Ist dieser Beweis richtig? Beweisen einer Summe aus konvergenten und divergenten Folgen ist eine divergente Folge

Question

Ist dieser Beweis richtig? Beweisen einer Summe aus konvergenten und divergenten Folgen ist eine divergente Folge

Mathematik
Realanalyse
Proof-Verifizierung
Folgen-und-Serien

Taru

Ich versuche das zu beweisen, wenn ${a_n}$ ist konvergent, und ${b_n}$ ist dann divergierend ${a_n} + {b_n}$ ist eine divergierende Reihe.

Ein Beweis, den ein Freund erzählte, aber ich verstehe nicht, wie er richtig sein kann, ist:

Annehmen ${a_n} + {b_n}$ konvergiert.

Deshalb, $\lim_{n\to{\infty}}({a_n} + {b_n}) = \lim_{n\to{\infty}}({a_n}) + \lim_{n\to{\infty}}({b_n})$

Widerspruch, da ${b_n}$ konvergiert nicht gegen eine Grenze.

Warum können in diesem Fall Grenzrechenregeln verwendet werden? seit ${b_n}$ ist keine konvergente Reihe, ich hätte nicht gedacht, dass Sie damit die Grenze einer konvergenten Folge ausdrücken und "als ob" zeigen können ${b_n}$ hat eine Grenze und widerspricht der Annahme, die sie verwendet.

Danke.

RN

verwenden

b_{n} = (a_{n} + b_{n}) - a_{n}

$b_n=(a_n+b_n)-a_n$

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Ist dieser Beweis richtig? Beweisen einer Summe aus konvergenten und divergenten Folgen ist eine divergente Folge

Brian M. Scott · Answer 1

Ordnen Sie die Berechnung neu an, sodass Sie mit konvergenten Folgen arbeiten. Annehmen, dass $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=L$ Und $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=M$ ; Dann

lim_{N \to \infty} B_{N} = lim_{N \to \infty} ((A_{N} + B_{N}) - A_{N}) = lim_{N \to \infty} (A_{N} + B_{N}) - lim_{N \to \infty} A_{N} = L - M,

$\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\big((a_n+b_n)-a_n\big)=\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)-\lim_{n\to\infty}a_n=L-M\;,$

widerspricht der Annahme, dass $\langle b_n:n\in\Bbb N\rangle$ ist divergierend.

Ich habe das Gefühl, dass es in erster Linie einen Fehler macht, "lim bn" zu sagen, da bn divergent ist. es ist, als würde man einen mathematischen Fehler machen (z. B. durch 0 dividieren) und zeigen, dass 2 = 1 ist. Warum ist das in Ordnung?
@Taru: Es ist okay, denn wenn die $a_n$ Und $a_n+b_n$ Sequenzen konvergent sind, was wir annehmen, dann ist die angezeigte Berechnung notwendigerweise korrekt. Da das Ergebnis dieser Berechnung den Annahmen widerspricht, folgt daraus, dass die $a_n$ Und $a_n+b_n$ Folgen können nicht beide konvergent sein. Wir wissen, dass einer von ihnen es ist, also müssen wir zu dem Schluss kommen, dass der andere es nicht ist.

Ist dieser Beweis richtig? Beweisen einer Summe aus konvergenten und divergenten Folgen ist eine divergente Folge

Taru

RN

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Brian M. Scott

Taru

Brian M. Scott

Taru

Brian M. Scott

Beweisen Sie, wenn ∑∞n=1|an|<∞∑n=1∞|an|<∞\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty, dann |∑∞n=1an|≤∑∞ n=1|an||∑n=1∞an|≤∑n=1∞|an|\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right|\le \sum_{n=1}^ \infty\links|a_n\rechts|

Wenn lim supn→∞an=a<∞lim supn→∞an=a<∞\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=a< \infty, dann ist ∀ϵ>0∀ϵ>0\forall\epsilon >0 ∃N∈N:an≤a+ϵ∃N∈N:an≤a+ϵ\exists N\in \mathbb{N}:a_n\leq a+\epsilon

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