Warum differenzieren wir die Geschwindigkeit nicht bezüglich der Position in der Lagrange-Funktion?

Das ist eine ausgezeichnete Frage! Und die Antwort hat ihre Wurzeln im Ursprung der Euler-Lagrange-Gleichungen als Lösungen des Hamiltonschen Variationsprinzips.

Denken Sie daran, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen das Ergebnis der Extremisierung der Aktion sind

Nun ist die übliche Ableitung, Variationen zu betrachten$\delta q(t), \delta q(0) = \delta q(T) = 0$, was ergibt

Nun wenden wir die übliche partielle Integration an,

Dies ist eine ausgezeichnete Frage (und ich bin voreingenommen, weil ich sie auch habe), niemand scheint in der Lage zu sein, sie gut zu beantworten. Hier sind einige Threads darüber, die ich gefunden habe und die es diskutieren:
(1) https://physics.stackexchange.com/questions/168551/independence-of-position-and-velocity-in-lagrangian-from-the-point- of-view-of-ph
(2) https://physics.stackexchange.com/questions/885/why-does-calculus-of-variations-work

Das Beste, was ich erkennen konnte, ist das Folgende: Die Euler-Lagrange-Gleichung definiert die Geschwindigkeit im Wesentlichen als Ableitung der Position in Bezug auf die Zeit. Ohne die Euler-Lagrange-Gleichung anzunehmen , ist die Geschwindigkeit NICHT die zeitliche Ableitung der Position.

Wenn wir den Phasenraum betrachten,$q$Und$\dot{q}$sind nur Variablen, also werde ich bezeichnen$\dot{q}=r$. Dh im Allgemeinen besteht KEINE Beziehung zwischen$q$Und$\dot{q}$.

Die Lagrange-Funktion ist also nur eine reguläre Funktion zweier Variablen.

(Im einfachsten Fall ist der Phasenraum gerade$\mathbb{R}^3$mit Achsen$t,q,r$).

Die Euler-Lagrange-Gleichung gibt uns dann eine bestimmte Kurve im Phasenraum ( NICHT den gesamten Phasenraum).

Die Kurve ist dreidimensional und wir können sie auf die projizieren$tq$Ebene.

Auf dieser Ebene passiert die Kurve zu definieren$q$implizit als Funktion von$t$(Ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll oder warum es wahr ist, aber es scheint der Fall zu sein).

Wir haben also eine Funktion, bezeichnen Sie sie$x : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$so dass für alle$t$:$x(t)=q$, dh$x: t \mapsto q$.

Aus irgendeinem Grund (den ich auch nicht kenne und nicht beweisen kann)$x(t)$ist eine differenzierbare Funktion von$t$. So$x'(t)$ist für alle gut definiert$t$.

Daher für jeden Punkt$t \in \mathbb{R}$, wir haben einen Punkt$\mathbb{R}^2$=tq-Ebene, die ist$(t, x(t))=(t,q)$implizit definiert durch die Projektion der Kurve, die durch die Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung gegeben ist.

Daher betrachten wir bei einem gegebenen Punkt in der Projektion der Kurve in der tq-Ebene den ursprünglichen Punkt in$\mathbb{R}^3$es wurde von --> projiziert$(t,q,r)=(t,x(t),r)$.

Nun sind die Euler-Lagrange-Gleichungen so, dass sich herausstellt, dass dies der Fall ist$x'(t)=r$(Ich weiß auch nicht, wie ich das beweisen soll) - daher kann unser Punkt auf dieser Kurve im 3-Raum geschrieben werden als$(t,x(t),x'(t))=(t,x(t),r)=(t,q,r)$.

Da die Physiker bereits im Voraus wissen, dass dies für die Kurve im 3-Raum, die durch die Euler-Lagrange-Gleichung definiert wird , die sie berücksichtigen werden (beachten Sie, dass sie keinen verbleibenden Teil des Phasenraums berücksichtigen, in dem dies NICHT zutrifft), dies der Fall ist das stimmt$r=x'(t)$Und$q=x(t)$, sie nennen nur die Variablen$x$Und$\dot{x}$dh

Die Notation, die Physiker verwenden, ist ein schlampiger Notationsmissbrauch, der im Voraus davon ausgeht, dass nur die Lösungskurve der Euler-Lagrange-Gleichung (die dem Prinzip der kleinsten Wirkung entspricht) gilt (da sie immer davon ausgehen, dass sie gilt).

Also in gewisser Weise (wenn man das Ganze betrachtet$r$Achse im Phasenraum, und nicht nur die Punkte, die Teil der Lösungskurve der Euler-Lagrange-Gleichung sind)$\dot{x}$ ist nicht die Geschwindigkeit von$x$, also sind sie wirklich nur unabhängige Variablen.

Ich würde gerne selbst für einen rigorosen Beweis für all dies sorgen, aber bisher ist dies die einzige Antwort, die für mich einen Sinn ergeben hat.

Ein Bild, das irgendwie erklärt, was ich zu sagen versuche:

Ich denke, Sie werden durch die Notationen der partiellen Ableitung verwirrt. Wenn$L$ist eine Funktion zweier Variablen,$L:(x,y)\mapsto L(x,y)$,$\dfrac{\partial L}{\partial x}$die Ableitung nach der ersten Variablen und ist$\dfrac{\partial L}{\partial y}$bzgl. der Sekunde (wenn Sie diese Ableitungen schreiben$\partial_1 L$Und$\partial_2 L$, es gibt keine Verwechslungsgefahr). Dann$x$Und$y=\dot x$sind zwei unabhängige Variablen der Funktion$L$Und$\partial_2 L$ist die Ableitung von$L$wrt die zweite Variable. Hier müssen Sie diese zweite Ableitung in einem bestimmten Wert auswerten (dh$\dot x$).

Zusamenfassend,$x$Und$\dot x$sind unabhängige Variablen von$L$.

[Zweite Antwort, separat, weil anders]

Vielleicht hilft das weiter: Diese Unabhängigkeit von Position und Geschwindigkeit zeigt sich in der Newtonschen Gleichung: Sie ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung . Um es (eindeutig) für ein 1-dof-System zu lösen, benötigen Sie zwei Anfangsbedingungen (Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit).

Dass die Lagrangedichte des sich mit kleinen Geschwindigkeiten bewegenden Teilchens in der angegebenen Form ausgedrückt werden kann, ist eine experimentelle Beobachtung. Das Prinzip der kleinsten Wirkung begrenzt die Art und Weise, wie das Teilchen seinen Phasenraum erkunden kann. Für die Anwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung zur Bestimmung der Bewegungsgleichung müssten dann die Koordinate und die Geschwindigkeit unabhängig voneinander behandelt werden. Es ist möglich, sich eine Situation vorzustellen, von der auch die Lagrange-Funktion abhängen würde$\ddot{x}$, in welchem ​​Fall$x$,$\dot{x}$Und$\ddot{x}$unabhängig behandelt würden. Unsere Welt scheint sich jedoch nicht so zu verhalten.