Meine Frage bezieht sich auf Abschnitt X von Buch 1 von Isaac Newtons Principia, der sich mit der Bewegung von Teilchen auf gekrümmten Oberflächen befasst. Ich habe gelesen, dass Newton in Satz 56 die Flugbahn eines Teilchens auf einer gekrümmten Oberfläche für den Fall gefunden hat, dass das Zentrum der Zentripetalkraft auf der Achse der Oberfläche liegt. Dieser Satz lautet so:
"Unter Berücksichtigung der Quadratur krummliniger Figuren und sowohl des Gesetzes der Zentripetalkraft in Richtung eines bestimmten Zentrums als auch einer gekrümmten Oberfläche, deren Achse durch dieses Zentrum verläuft, um die Flugbahn zu finden, die ein Körper auf dieser Oberfläche beschreibt, wenn seine ursprüngliche Position und Geschwindigkeit gegeben sind."
Indem man annimmt, dass das Zentrum der Zentripetalkraft in unendlicher Entfernung liegt (natürlich auf der Achse), erhält man ein gleichmäßiges Gravitationsfeld. Dies ist ein sehr interessanter Punkt, zu dem ich wenig Material gefunden habe, da die Bestimmung der Bewegung eines Teilchens auf einer gekrümmten Oberfläche mit Komplikationen verbunden ist und ich denke, dass es sogar irgendwie mit Geodäten auf der gekrümmten Oberfläche zu tun hat.
Ich stelle diese Frage, da ich kein Material zu diesem Vorschlag finden konnte. Wenn also jemand eine gute Referenz kennt, die diesen Punkt analysiert, werde ich sie gerne lesen.
Du bist hier an etwas dran. Abschnitt X von Buch 1 der Principia diskutiert die Bewegung von Teilchen, die auf Kurven oder Oberflächen beschränkt sind, unter der Wirkung von Zentralkräften (d. h. Kräften, die auf einen festen Punkt, das Zentrum, gerichtet sind, wobei die Größe nur von der Entfernung dazu abhängt). Dies ist ein Beispiel für eingeschränkte Dynamik, die jetzt mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit von "D'Alembert" (formuliert von John Bernoulli, siehe Maugin's Glimpse at the Eighteenth Century ) in Verbindung gebracht wird, und wenn wir den Spezialfall einer zentralen Kraft von Null nehmen, werden die Trajektorien in der Tat die Geodäten auf der Oberfläche sein. Das Zentrum ins Unendliche zu bringen und gleichzeitig die Intensität zu erhöhen, kann das konstante Kraftfeld im Grenzbereich erzeugen, Newton betrachtet diesen einfacheren Fall für Kurven, aber nicht für Oberflächen.
Lassen Sie uns Proposition 56 in moderne Begriffe übersetzen. „Zentripetalkraft zu einem gegebenen Zentrum hin“ ist eine zentrale Kraft, „gekrümmte Fläche, deren Achse durch dieses Zentrum verläuft“ ist eine Rotationsfläche, deren Achse durch das Kraftzentrum verläuft, und „die Gewährung der Quadratur krummliniger Figuren“ bedeutet, dass Newton es ist Inhalt, um Probleme auf das Finden von Bereichen gekrümmter Regionen, auf Quadraturen zu reduzieren. Der Satz besagt also, dass sich das Anfangswertproblem für die Bewegung auf einer Rotationsfläche unter der Wirkung einer zentralen Kraft auf Quadratur reduziert. Der Beweis stützt sich auf die vorhergehende Proposition 55, wo Newton beweist, dass, wenn die Flugbahn der Partikel auf der Oberfläche auf eine Ebene senkrecht zur Achse projiziert wird, ihr Radiusvektor gleiche Flächen in gleichen Zeiten überstreicht.zu willkürlichen zentralen Kräften und Bewegungen, die eher auf Rotationsflächen als nur auf Ebenen beschränkt sind. In mathematischer Hinsicht ergibt dies ein erstes Integral der Bewegung , was die Reduktion auf Quadratur erklärt.
Das geodätische Problem ist ein Spezialfall von Newton. Dies ist nicht genau das "Lösen" (wie beim Finden von Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln für das Gesetz des umgekehrten Quadrats), aber immer noch. Struik gibt in seinen Lectures on Classical Differential Geometry (4-2) eine frühe Geschichte der Geodäsie wieder, ohne Newton und Principia zu erwähnen, auch wenn er feststellt, dass sich das geodätische Problem auf einer Rotationsfläche auf Quadratur reduziert:
"Die Geschichte der geodätischen Linien beginnt mit John Bernoullis Lösung des Problems der kürzesten Entfernung zwischen zwei Punkten auf einer konvexen Fläche (1697-1698). Seine Antwort war, dass die Schmiegeebene („die Ebene, die durch drei Punkte „quolibet proxima“ geht“) immer senkrecht zur Tangentialebene stehen muss. Zur weiteren Geschichte siehe P. Stackel, Bemerkungen zur Geschichte der geodätischen Linien, Berichte sachs. Akad. Wiss., Leipzig, 45, 1893, S. 444-467. Der Name „geodätische Linie“ in seiner heutigen Bedeutung geht laut Stackel auf J. Liouville, Journal de mat hem, zurück. 9, 1844, p. 401; Die Gleichung der Geodäten wurde erstmals von Euler in seinem Artikel De linea brevissima in superficie quacumque duo quaelibet puncta jungente, Kommentar, aufgestellt. Akad. Petropol. 3 (ad annum 1728), 1732; Euler'"
Die früheren Aussagen von Abschnitt X bezüglich der auf Kurven beschränkten Bewegung sind ebenfalls von Interesse. Die Sätze 50-53 befassen sich mit der auf eine Zykloide beschränkten Bewegung und werfen ein neues Licht auf ihre berühmte Beziehung zu den von Huygens entdeckten Pendeluhren . Dies wird ausführlich in Nauenbergs Huygens and Newton on Curvature and its applications to Dynamics diskutiert :
" Die Frage betrifft den zugrunde liegenden Grund für die isochrone Eigenschaft der Schwingungen eines Körpers, der sich unter der Wirkung der konstanten Schwerkraft auf einer Zykloidenbahn bewegt. Sie fanden heraus, dass die Komponente der Schwerkraft tangential zu einer Zykloidenbahn proportional ist der Weg entlang dieses Weges. Dieses Ergebnis impliziert, dass andere physikalische Systeme, bei denen die Kraft linear mit dem Weg ist, zu isochronen oder harmonischen Schwingungen führen. Das bekannteste Beispiel ist die Rückstellkraft einer Feder. “
Sie könnten Chandrasekhars Newtons Principia für den allgemeinen Leser von Interesse finden. Er übersetzt Newtons Euklidese systematisch Abschnitt für Abschnitt in die moderne Infinitesimalrechnung und kommentiert sie, überspringt jedoch Abschnitt X auffällig Kalkül Notation.
Benutzer2554