Wie kam Newton auf seine Formel?

Die Formel war damals eine viel diskutierte Hypothese (Ch. Wren, Hooke, Halley). Der erste Versuch, die Formel zu testen, wurde unternommen, als Newton ein junger Student in Cambridge war: Er verglich die Beschleunigung durch die Schwerkraft auf der Erdoberfläche (einfach zu messen, indem man zum Beispiel fallende Äpfel beobachtet:-) mit der Beschleunigung des Mondes auf seiner Umlaufbahn (einfach zu messen berechnen). Und verglich diese Beschleunigungen mit dem Erdradius und dem Mondbahnradius. Die Übereinstimmung war schlecht und Newton gab das Thema auf. (Der Grund für die schlechte Übereinstimmung war der falsche Wert des Erdradius, den Newton anscheinend an seiner Universität gelehrt wurde).

Der zweite Versuch wurde viele Jahre später durch einen Brief von Hooke ausgelöst. Hooke schlug buchstäblich vor, Keplers Gesetze (hauptsächlich das erste Gesetz) unter Annahme dieser Formel abzuleiten. Als Newton dies tat, schien ihm dies ein überzeugender Beweis zu sein. Als Edmund Halley ihm beim nächsten Mal dieselbe Frage stellte, konnte Newton ihm einen Beweis zeigen. Es wird immer noch diskutiert, ob Newtons Beweis wirklich ein Beweis dafür war, was Halley verlangte (dass das Gesetz der umgekehrten Quadrate elliptische Bahnen impliziert), oder ob er nur die umgekehrte Aussage bewies: dass die Bewegung auf Ellipsen das Gesetz der umgekehrten Quadrate impliziert. In jedem Fall stellt jede der beiden Implikationen ein überzeugendes Argument für das Gesetz der umgekehrten Quadrate dar.

Als Newton das Buch schrieb, war ihm der genaue Erdradius bereits bekannt, also war auch sein frühes Argument berechtigt. Ein weiterer früher erfolgreicher Test des inversen quadratischen Gesetzes war die von Halley gemachte Vorhersage der Rückkehr des Halleyschen Kometen.

All dies war ein starker Beweis für die universelle Gravitation, aber weitere Tests waren erwünscht. (Es wurden nur einige Hauptmerkmale der Planetenbewegungen erklärt, aber man wollte sicherstellen, dass das Gesetz genau und nicht ungefähr ist).

Im 18. Jahrhundert gab es zwei entscheidende Prüfungen. Zunächst die Vorhersage der Erdform (erprobt in mehreren Expeditionen im 18. Jahrhundert durch genaue Messung der Meridianbögen). Zweitens und am wichtigsten war die quantitative Erklärung von Unregelmäßigkeiten der Mondbewegung (aufgrund der von der Sonne ausgehenden Störung gehorcht der Mond nicht genau den Gesetzen von Kepler). Hier hatte Newton selbst nur teilweise Erfolg, indem er die Größenordnung der sogenannten „ersten Ungleichung“ erklärte. Die harte Arbeit der besten Mathematiker des 18. Jahrhunderts (Euler, Clairault, Lagrange und mehrere andere) erzielte schließlich einen Erfolg mit der quantitativen Vorhersage der Mondbewegung. Dies war der entscheidende Schritt zum Beweis des universellen Gravitationsgesetzes.

Weitere Tests wurden im 19. Jahrhundert durchgeführt, der berühmteste war die Vorhersage der Existenz von Neptun und die Berechnung seiner Umlaufbahn, bevor er beobachtet wurde. Danach hatte niemand mehr Zweifel.

Wie Newton sagte, stand er auf den Schultern von Riesen. Einer dieser Giganten war Kepler, der herausfand, dass die Periodizität einer Planetenumlaufbahn damit zusammenhing

$$T^2~\propto~r^3.$$ Dies ist Keplers drittes Gesetz. Newton erkannte mit dem zweiten Hauptsatz $\vec F~=~m\vec a$der Bewegung, die Zentripetalkraft ist $$\vec F~=~m\omega^2\vec r.$$ Newton stellte die Hypothese auf, dass es zwischen allen Massen eine universelle Kraft gibt. Dies ist die Grundlage der halbmythischen Geschichte vom Fallen des Apfels. Newton sagte dann, dass mit dem zweiten Hauptsatz die Zentripetalkraft die ist $m\vec a$und diese Kraft muss von der Form sein $\vec F~=~r^n\vec r$und so $$m\omega^2\vec r~=~Kr^n\vec r.$$ Es ist klar, dass $n~=~3$von Kepler. Auch das dritte Keplersche Gesetz ist nicht von der Masse des umlaufenden Satelliten abhängig. Newton erkannte, dass die Größe dieser Kraft mit der Masse des Primärkörpers skalieren muss. Somit $K~=~GMm$.