Hat Newton die Flugbahn eines Körpers gefunden, der sich unter dem quadratischen Widerstandsgesetz (dem ballistischen Problem) in gleichförmiger Schwerkraft bewegt?

Nein er tat es nicht. Nicht in der ersten (1687), nicht in der zweiten (1713) und nicht in der dritten (1726) Ausgabe, unten zitiere ich aus Cajoris Ausgabe von Mottes Übersetzung der letzteren. Da er die Trajektorie nicht analytisch finden konnte, versuchte er, sie durch vorgewählte Kurven anzunähern. Dabei hat er anscheinend die Halbkreise in der ersten Ausgabe der Principia vermasselt, auf die Johann (=John) Bernoulli 1712 hingewiesen hatte. Newton behob den Fehler in der zweiten Ausgabe des nächsten Jahres, ohne Bernoulli zu erwähnen. Das Problem wurde 1717 als Herausforderung angeboten, als Bernoulli es (in parametrischer Form) als Sonderfall des Problems mit Widerstand proportional zu einer beliebigen Geschwindigkeitsleistung löste.

Newton fand die von Galileo vorgeschlagene Flugbahn für das lineare Widerstandsgesetz in Abschnitt 1 von Buch II. Aber er argumentierte, dass das quadratische Gesetz für seltene Medien wie die Luft richtig ist und dass es sogar aus seinen Bewegungsgesetzen abgeleitet werden kann! Abschnitt 2 untersucht diesen Fall zunächst ohne Schwerkraft und dann für den Fall in gerader Linie. Aber Newton kommt der allgemeinen Bahn am nächsten, wenn er das inverse Problem unter Satz X von Buch II untersucht:

„ Nehmen Sie an, dass die gleichmäßige Schwerkraft direkt zur Ebene des Horizonts tendiert und der Widerstand das Produkt aus der Dichte des Mediums und dem Quadrat der Geschwindigkeit ist: Es wird vorgeschlagen, die Dichte des Mediums in jedem zu finden Ort, der den Körper in einer bestimmten gekrümmten Linie bewegen soll, die Geschwindigkeit des Körpers und der Widerstand des Mediums an jedem Ort. "

Er betrachtet vier Arten von Trajektorien – Halbkreis, Parabel, Hyperbel mit schräger und vertikaler Asymptote und verallgemeinerte Hyperbel mit ähnlichen Asymptoten – und begründet, welche Art von Medienverteilung sie erzeugen würde. Seine heuristische Schlussfolgerung für das gleichmäßig dichte Medium lautet:

... nähert sich die Linie, die ein Projektil in einem Medium mit gleichmäßigem Widerstand beschreibt, diesen Hyperbeln näher als einer Parabel. Diese Linie ist zwar hyperbolischer Art, aber um den Scheitel herum ist sie von den Asymptoten weiter entfernt und kommt ihnen in den vom Scheitel entfernten Teilen näher als diese hier beschriebenen Hyperbeln.

Newtons Betrachtung des Halbkreises und der hyperbolischen Fälle scheint von Tartaglias Nova Scientia (1537) beeinflusst zu sein , einem der ersten Bücher, das Mathematik auf die Ballistik anwendet. Hackborns On Motion in a Resisting Medium: a Historical Perspective beschreibt die Bernoulli-Affäre im Detail:

" Ein „schwerwiegender Fehler“ in Newtons Analyse für die halbkreisförmige Flugbahn in Proposition 10 der ersten Ausgabe von Principia hatte unerwartete Folgen. Johann Bernoulli entdeckte den Fehler und teilte ihn Newton durch seinen Neffen Nikolaus Bernoulli mit, der London besuchte September 1712. Newton schneiderte dann eine lange Klebekorrektur für die zweite (1713) Ausgabe, die bereits gedruckt war, ohne Bernoullis Hilfe zu zitieren … Schließlich reagierte er auf eine Aufforderung des Oxford-Professors John Keill aus dem Jahr 1717, „die Kurve zu finden die ein Projektil beschreibt, „unter dem Einfluss von Schwerkraft und Flüssigkeitswiderstand, die sich als Quadrat seiner Geschwindigkeit ändern, fand Johann Bernoulli einen Ausdruck für diese Kurve im Fall von Widerstandsänderungen als willkürliche Potenz der Geschwindigkeit“ .

Laut Whittaker wurde dieses Problem 1744 von D'Alembert auf Quadratur reduziert: Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodys, S. 229 http://archive.org/details/treatisanalytdyn00whitrich

Die Antwort von Conifold besagt, dass Bernoulli es 1717 in einer allgemeineren Form gelöst hat. Vermutlich gibt es einige Unterschiede zwischen den von D'Alembert und Bernoulli erzielten Lösungstypen.

Ich wäre überrascht, wenn irgendjemand schon zu Newtons Lebzeiten etwas zu diesem Problem hätte erreichen können, angesichts des primitiven Standes der Technik in Mathematik und Physik zu dieser Zeit. Heute beschreiben wir die Lösung in Form von Erhaltungsgrößen (es gibt eine Konstante der Bewegung in Form von$v_x$Und$v_y$) und schreibe die analytische Lösung für den eindimensionalen Fall mit Logarithmen auf. Rechnen mit Logarithmen war damals eine ganz neue Sache, und ich weiß nicht, ob es das Konzept einer Erhaltungsgröße überhaupt gab.