Mechanik Kolbenproblem mit Drehbewegung.

Question

Mechanik Kolbenproblem mit Drehbewegung.

Anonym

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die obige Abbildung zeigt einen Kolben, der eine am Ende schwenkbare Kurbel OP antreibt $O$ . Der Kolben gleitet in einem geraden Zylinder und die Kurbel dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ . Finden Sie die Entfernung $OQ$ in Bezug auf die Längen $b,c$ und der Winkel $\theta$ . Zeigen Sie, wann $b/c$ ist klein, $OQ$ ist ungefähr gegeben durch $OQ = c + b\cos(\theta)-\frac{b^2}{2c}\sin^2(\theta)$

Ich habe ein kleines Diagramm skizziert, das wie folgt lautet;

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

$\cos \theta = \frac{x}{b}$ das impliziert das $b\cos\theta = x$

$\sin \theta = \frac{h}{b}$ das impliziert das $b\sin\theta = h$

Jetzt $c^2 = h^2 + y^2$ So $c^2 - h^2 = y^2$

Jetzt lasse ich die Länge $OQ = z$ .

$z = x + y = b\cos\theta + \sqrt{c^2 - b^2(\sin\theta)^2}$

Jetzt weiß ich, dass ich das besser manipulieren kann. aber ich habe das Gefühl, ich entferne mich immer weiter. Ich habe vielleicht einen Fehler gemacht, aber es ist ein grundlegender Trigger?

Halbklassisch

Ich würde eigentlich sagen, das ist genau die Antwort, die Sie haben sollten , zumindest zum Finden

z

$z$ als Funktion von

b, c,

$b,c,$ Und

θ

$\theta$ . Alles, was übrig bleibt, ist, das letzte Ergebnis zu finden, und dafür ist es hilfreich, die Binomialreihenannäherung zu kennen

\sqrt{1 - x}

$\sqrt{1-x}$ ...

Benutzer197848

aber ist das nicht eine unendliche Ausdehnung, da seine Kraft keine ganzzahlige Kraft ist? oder verwende ich Taylor-Reihen?

Halbklassisch

Es ist eine unendliche Reihe, ja, aber für die Annäherung führender Ordnung (diejenige, die verwendet wird, um ihre Antwort zu erhalten) nehmen Sie einfach die ersten beiden Terme der Reihe. In Bezug auf Taylor-Reihen läuft es darauf hinaus, alles über den Term erster Ordnung hinaus fallen zu lassen.

user_of_math

Ihr anfänglicher Ausdruck für OQ stimmt nicht mit dem Diagramm überein - Plug-In

θ = 0

$\theta=0$ und Sie haben OQ=c, anstatt die richtige Antwort von b+c. Der zweite Begriff sollte sein

b \cos θ

$b\cos\theta$ .

Benutzer197848

Das war ein Tippfehler, ich wollte gerade editieren. danke aber für den hinweis! auch halbklassisch, vielen Dank.

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Mechanik Kolbenproblem mit Drehbewegung.

Ich würde eigentlich sagen, das ist genau die Antwort, die Sie haben sollten , zumindest zum Finden $z$ als Funktion von $b,c,$ Und $\theta$ . Alles, was übrig bleibt, ist, das letzte Ergebnis zu finden, und dafür ist es hilfreich, die Binomialreihenannäherung zu kennen $\sqrt{1-x}$ ...
aber ist das nicht eine unendliche Ausdehnung, da seine Kraft keine ganzzahlige Kraft ist? oder verwende ich Taylor-Reihen?
Es ist eine unendliche Reihe, ja, aber für die Annäherung führender Ordnung (diejenige, die verwendet wird, um ihre Antwort zu erhalten) nehmen Sie einfach die ersten beiden Terme der Reihe. In Bezug auf Taylor-Reihen läuft es darauf hinaus, alles über den Term erster Ordnung hinaus fallen zu lassen.
Ihr anfänglicher Ausdruck für OQ stimmt nicht mit dem Diagramm überein - Plug-In $\theta=0$ und Sie haben OQ=c, anstatt die richtige Antwort von b+c. Der zweite Begriff sollte sein $b\cos\theta$ .
Das war ein Tippfehler, ich wollte gerade editieren. danke aber für den hinweis! auch halbklassisch, vielen Dank.

user_of_math · Answer 1

Das Wichtigste, woran Sie denken sollten, ist, dass die Verbindungsstangen starr sind und ihre Länge durchgehend beibehalten müssen.

Setzen Sie den Ursprung auf O. Der Punkt P ist augenblicklich $b\cos\theta, b\sin\theta$ was automatisch erfüllt $|OP|=b$ . Wenn $Q=(z,0)$ , muss man haben $|PQ|=c$ . Das gibt dir

(z - B \cos θ)^{2} + (B Sünde θ)^{2} = C^{2} z^{2} - 2 B z \cos θ + B^{2} - C^{2} = 0

$(z-b\cos\theta)^2 + (b\sin\theta)^2 = c^2 \\ z^2 - 2bz \cos\theta + b^2-c^2 = 0$ Löse dieses Quadrat nach

z

$z$ du hast

z = B \cos θ \pm \sqrt{C^{2} - B^{2} {Sünde}^{2} θ} = B \cos θ \pm C \sqrt{1 - \frac{B^{2}}{C^{2}} {Sünde}^{2} θ}

$z = b\cos\theta \pm \sqrt{c^2-b^2\sin^2\theta} \\ = b\cos\theta \pm c\sqrt{1-\frac{b^2}{c^2}\sin^2\theta}$ Sie müssen die positive Wurzel ziehen, da die Länge bei b+c ist

θ = 0

$\theta=0$ .

Für klein $b/c$ , können Sie den Quadratwurzelterm in einer Taylor-Reihe erweitern als $(1+x)^{(1/2)} \approx 1 + \frac{x}{2}$ , dir geben

z \approx B \cos θ + C - \frac{B^{2}}{2 C} {Sünde}^{2} θ

$z \approx b\cos\theta + c - \frac{b^2}{2c} \sin^2\theta$

Mechanik Kolbenproblem mit Drehbewegung.

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Benutzer197848

Halbklassisch

user_of_math

Benutzer197848

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