Hat Galileo in „Two New Sciences“ ein falsches geometrisches Ergebnis verwendet?

Question

Hat Galileo in „Two New Sciences“ ein falsches geometrisches Ergebnis verwendet?

Zachary Candelaria

In Thm. 4, Prop. 4 von Galileos „Two New Sciences“ (S. 187, Crew Translation), sagt Galileo Folgendes: „Von einem einzigen Punkt aus $B$ Zeichne die Flugzeuge $BA$ Und $BC$ , mit gleicher Länge, aber unterschiedlicher Neigung; lassen $AE$ Und $CD$ horizontale Linien sein, die gezeichnet werden, um die Senkrechte zu treffen $BD$ ; und lass $BE$ die Höhe des Flugzeugs darstellen $AB$ , Und $BD$ die Höhe von $BC$ ; auch lassen $BI$ ein Mittelwert sein, der proportional zu ist $BD$ Und $BE$ ; dann das Verhältnis von $BD$ Zu $BI$ gleich der Quadratwurzel des Verhältnisses von ist $BD$ Zu $BE$ ." (Siehe Abbildung)

Die Behauptung kam mir seltsam vor und ich experimentierte viele Male mit verschiedenen geometrischen Figuren, um zu sehen, ob ich dieses Ergebnis zumindest in einem Fall reproduzieren konnte, aber ich konnte es nicht. Was ist denn hier los?

Will Orrick

Die Aussage ist nichts anderes als die Definition von "mittlerer Anteil".

Benutzer10963

Ist Linie

S I

$SI$ senkrecht zu

B D

$BD$ ?

Will Orrick

@Zenra Ja. Später im Beweis sagt Galileo "Draw IS parallel to DC". Der hier zu beweisende Satz lautet: "Die Sinkzeiten auf Ebenen gleicher Länge, aber unterschiedlicher Neigung stehen zueinander im umgekehrten Verhältnis der Quadratwurzeln ihrer Höhen."

Karl Witthöft

Was ist hier die Frage? Sieht so aus, als ob Ihre "Grundfrage" die der Definition des "mittleren Anteils" zu Punkt I ist .

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Hat Galileo in „Two New Sciences“ ein falsches geometrisches Ergebnis verwendet?

Die Aussage ist nichts anderes als die Definition von "mittlerer Anteil".
@Zenra Ja. Später im Beweis sagt Galileo "Draw IS parallel to DC". Der hier zu beweisende Satz lautet: "Die Sinkzeiten auf Ebenen gleicher Länge, aber unterschiedlicher Neigung stehen zueinander im umgekehrten Verhältnis der Quadratwurzeln ihrer Höhen."
Was ist hier die Frage? Sieht so aus, als ob Ihre "Grundfrage" die der Definition des "mittleren Anteils" zu Punkt I ist .

Benutzer10963 · Answer 1

Als $BI$ ist durchschnittlich proportional zu $BD$ Und $BE$ .

\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{B D}{B ICH} = \frac{B ICH}{B E} \\ \Rightarrow \frac{B D}{B ICH} \times B D = \frac{B ICH}{B E} \times B D \\ \Rightarrow \frac{B D^{2}}{B ICH} = \frac{B ICH \times B D}{B E} \\ \Rightarrow \frac{B D^{2}}{B {ICH}^{2}} = \frac{B D}{B E} \end{array}

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{B D}{B I}=\frac{B I}{B E} \\ \Rightarrow \frac{B D}{B I} \times B D=\frac{B I}{B E} \times B D \\ \Rightarrow \frac{B D^{2}}{B I}=\frac{B I \times B D}{B E} \\ \Rightarrow \frac{B D^{2}}{B I^{2}}=\frac{B D}{B E} \end{array}$

$Q.E.D$

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Zachary Candelaria

Will Orrick

Benutzer10963

Will Orrick

Karl Witthöft

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Benutzer10963

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