Kombination von Rotationen für orbitale und Rotationsbewegung eines Planeten

Question

Kombination von Rotationen für orbitale und Rotationsbewegung eines Planeten

Atapaka

Wenn ich einen Planeten habe, der die Sonne (unter der Annahme einer kreisförmigen Umlaufbahn) mit Winkelgeschwindigkeit umkreist $\Omega$ und rotiert um seine Achse bei $\omega$ . Ich habe auch eine Normale zur Oberfläche des Planeten $\vec{n}_{\rm surf}$ , die Normale zur Bahnebene $\vec{n}_{\rm o}$ , und die Richtung zur Sonne vom Planeten und eine Normale zur Oberfläche des Planeten $\vec{n}_{\rm sun}$ . Die Frage ist, wie bekomme ich das Skalarprodukt $\vec{n}_{\rm sun}(t)\cdot\vec{n}_{\rm surf}(t)$ zu jedem Zeitpunkt während der Umlaufbahn bei diesen Werten bei einigen $t=0$ , z.B. im Perihel? Das Problem ist, dass dies zwei Rotationen sind, die kombiniert werden müssen. Ich habe zwei Ansätze:

Mein erster Ansatz ist es, im Koordinatensystem des Planeten zu sein, siehe Bild:

Das Problem hier ist das $\vec{n}_{\rm o}$ ändert sich aufgrund der Drehung um $z$ -Achse des Planeten. Also ich denke:

Drehen $\vec{n}_{\rm o}(0)$ um $\vec{z}$ von ${\rm d}t * \omega$ zu bekommen $\vec{n}_{\rm o}(1)$
Drehen $\vec{n}_{\rm sun}(0)$ um $\vec{n}_{\rm o}(0)$ von ${\rm d}t * \Omega$ zu bekommen $\vec{n}_{\rm sun}(1)$
Drehen $\vec{n}_{\rm o}(1)$ um $\vec{z}$ von ${\rm d}t * \omega$ zu bekommen $\vec{n}_{\rm o}(2)$
Drehen $\vec{n}_{\rm sun}(1)$ um $\vec{n}_{\rm o}(1)$ von ${\rm d}t * \Omega$ zu bekommen $\vec{n}_{\rm sun}(2)$
Fahren Sie fort, bis ich komme $\vec{n}_{\rm sun}(t)$
Weil $\vec{z}$ konstant ist, kann ich bekommen $\vec{n}_{\rm surf}(t)$ direkt als Rotation von $\vec{n}_{\rm surf}(0)$ um $z$ -Achse durch $t * \omega$

Ich weiß, dass dies nur eine ungefähre Lösung ist und von der Qualität abhängt ${\rm d}t$ Schritt. Also dachte ich, würde ich mit diesem zweiten Ansatz nicht die gleichen Ergebnisse erzielen ?

Ich gehe davon aus, dass ich mich in den Koordinaten der Sonne befinde (unter Vernachlässigung ihrer Rotation), sodass die $z$ -Achse ist normal zur Bahnebene, $x$ Achse ist so, dass sie auf das Perihel zeigt. Siehe Bild:

Jetzt wäre mein Ansatz:

Drehen $\vec{n}_{\rm sun}(0)$ um $z$ Achse durch $t*\Omega$ zu bekommen $\vec{n}_{\rm sun}(t)$ .
Drehen $\vec{n}_{\rm surf}(0)$ über die $\vec{n}_{\rm spin}$ von $t*\omega$ zu bekommen $\vec{n}_{\rm surf}(t)$ .

Der Grund, warum ich denke, dass ich das tun kann, ist folgender $\vec{n}_{\rm spin}$ wird sich durch Orbitalrotation nicht ändern und wird es auch nicht $\vec{n}_{\rm surf}$ . Aber ganz sicher bin ich mir bei dieser Annahme nicht.

ehrliche_vivere

Sie können die Koordinatenbasis und das Bezugssystem wählen, von dem aus Sie alle anderen Parameter definieren. Warum sich also das Leben schwer machen? Finden Sie die beiden, die die Anzahl der sich ändernden Parameter reduzieren (z. B. sieht Ihr 2. Beispielansatz besser aus). Sie haben auch nicht definiert, in Bezug auf was

{\vec{n}}_{s u r f}

$\vec{n}_{surf}$ ist definiert? Sofern es nicht an einem Punkt auf dem Planeten fixiert ist, muss es sich in keinem Koordinatensystem ändern, da es willkürlich ist.

Atapaka

@honeste_vivere

{\vec{n}}_{s u r f}

$\vec{n}_{\rm surf}$ ist bezüglich des Planeten fixiert, also in planetozentrischen Koordinaten, es ist die Normale eines Punktes, der durch Längen- und Breitengrad gegeben ist, zB der Standort einer Stadt auf der Erde, es dreht sich mit dem Planeten. Am Ende brauche ich das Skalarprodukt

{\vec{n}}_{s u r f} (t) \cdot {\vec{n}}_{s u n} (t)

$\vec{n}_{\rm surf}(t)\cdot\vec{n}_{\rm sun}(t)$ . Der zweite Ansatz sieht sehr gut aus, aber das Problem hier ist, ob es einige versteckte Feinheiten gibt, die mir nicht bewusst sind - wie beim ersten Ansatz - dreht sich eine der Achsen, um die Sie eine der Drehungen ausführen. (ich hoffe ich bin nicht zu sehr verwirrend)

Kleingordon

Wenn Sie die Bahn der Planetenoberfläche in einem auf die Sonne zentrierten Koordinatensystem aufschreiben können, vielleicht parametrisiert durch die Zeit, dann können Sie die Skalarprodukte zwischen allen Vektoren, die Sie interessieren, zu jedem Zeitpunkt berechnen. Keine dt-Schritte notwendig, keine separaten Drehungen einzelner Vektoren

Suzu Hirose

Dies scheint ein relativ einfaches Problem in der Trigonometrie zu sein, das keine physikalischen Kenntnisse erfordert.

Atapaka

@SuzuHirose Ich verstehe den Sinn Ihres Kommentars nicht oder wie er bei der Beantwortung der Frage oder der Verbesserung der Frage selbst hilfreich sein sollte. Bitte machen Sie sich auch mit den Begriffen vertraut, bevor Sie sie verwenden (z. B. Trigonometrie).

Suzu Hirose

Ich kenne den Begriff "Trigonometrie", der alles ist, was zur Lösung dieses Problems erforderlich ist. Es ist keine Physik erforderlich.

Atapaka

Die Trigonometrie befasst sich mit Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten, nicht mit der Kinematik starrer Körper.

Antworten (4)

Kombination von Rotationen für orbitale und Rotationsbewegung eines Planeten

Sie können die Koordinatenbasis und das Bezugssystem wählen, von dem aus Sie alle anderen Parameter definieren. Warum sich also das Leben schwer machen? Finden Sie die beiden, die die Anzahl der sich ändernden Parameter reduzieren (z. B. sieht Ihr 2. Beispielansatz besser aus). Sie haben auch nicht definiert, in Bezug auf was $\vec{n}_{surf}$ ist definiert? Sofern es nicht an einem Punkt auf dem Planeten fixiert ist, muss es sich in keinem Koordinatensystem ändern, da es willkürlich ist.
@honeste_vivere $\vec{n}_{\rm surf}$ ist bezüglich des Planeten fixiert, also in planetozentrischen Koordinaten, es ist die Normale eines Punktes, der durch Längen- und Breitengrad gegeben ist, zB der Standort einer Stadt auf der Erde, es dreht sich mit dem Planeten. Am Ende brauche ich das Skalarprodukt $\vec{n}_{\rm surf}(t)\cdot\vec{n}_{\rm sun}(t)$ . Der zweite Ansatz sieht sehr gut aus, aber das Problem hier ist, ob es einige versteckte Feinheiten gibt, die mir nicht bewusst sind - wie beim ersten Ansatz - dreht sich eine der Achsen, um die Sie eine der Drehungen ausführen. (ich hoffe ich bin nicht zu sehr verwirrend)
Wenn Sie die Bahn der Planetenoberfläche in einem auf die Sonne zentrierten Koordinatensystem aufschreiben können, vielleicht parametrisiert durch die Zeit, dann können Sie die Skalarprodukte zwischen allen Vektoren, die Sie interessieren, zu jedem Zeitpunkt berechnen. Keine dt-Schritte notwendig, keine separaten Drehungen einzelner Vektoren
Dies scheint ein relativ einfaches Problem in der Trigonometrie zu sein, das keine physikalischen Kenntnisse erfordert.
@SuzuHirose Ich verstehe den Sinn Ihres Kommentars nicht oder wie er bei der Beantwortung der Frage oder der Verbesserung der Frage selbst hilfreich sein sollte. Bitte machen Sie sich auch mit den Begriffen vertraut, bevor Sie sie verwenden (z. B. Trigonometrie).
Ich kenne den Begriff "Trigonometrie", der alles ist, was zur Lösung dieses Problems erforderlich ist. Es ist keine Physik erforderlich.
Die Trigonometrie befasst sich mit Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten, nicht mit der Kinematik starrer Körper.

Michael · Answer 1

Das Skalarprodukt $\vec{n}_{sun}(t) \cdot \vec{n}_{surf}(t)$ kann berechnet werden als $||\vec{n}_{sun}|| \cdot ||\vec{n}_{surf}|| \cos(\theta(t))$ . Beachten Sie, dass ich die Zeitvariable nur auf den Winkel übertragen habe, da ich aus Ihrer Beschreibung annehme, dass die Größe der Normalenvektoren zeitlich konstant ist. Verwenden Sie von diesem Punkt an Ihre Winkel $\Theta = \Theta_o + \Omega \cdot t$ Und $\theta = \theta_o + \omega \cdot t$ und kombinieren Sie dies, um die Euler-Winkel ( https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles ) des Planeten zu konstruieren.

Dies sollte Sie auf den Weg bringen. Für die Details würde ich meine Professorenmütze aufsetzen und es dem interessierten Leser überlassen.

Ich habe einige Zeit über Ihre Antwort nachgedacht, aber ich kann immer noch nicht erkennen, was gute Euler-Winkel hier bewirken werden. Vielleicht meinten Sie, dass Sie vom oberflächenfesten Koordinatensystem des Planeten in das feste Koordinatensystem der Sonne transformieren können, dann bilden Sie einfach das Skalarprodukt mit der Konstante $\vec{n}_{\rm sun}$ die in diesem Fall konstant auf das zB Perihel (oder Position bei $t=0$ ). Aber das ist doch gleich mein zweiter Lösungsvorschlag, oder?

SaMaSo · Answer 2

(Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Annahmen Ihres Problems richtig verstehe.)

„Der Grund, warum ich denke, dass ich das tun kann, ist folgender $\vec{n}_{spin}$ wird sich durch Orbitalrotation nicht ändern und wird es auch nicht $\vec{n}_{surf}$ . Aber ich bin mir bei dieser Annahme nicht wirklich sicher."

Ich denke, diese Annahme liegt etwas in der Definition von $\vec{\Omega}$ Und $\vec{\omega}$ . [ $\vec{\Omega}$ bewegt den Planeten einfach fest um die Umlaufbahn (und sein Wert bestimmt die Winkelgeschwindigkeit des Planetenzentrums um die Sonne), und $\vec{\omega}$ bestimmt den Wert der Winkelgeschwindigkeit der Planetenoberfläche um eine Achse (nennen wir es $z'$ ), die so fixiert ist , wie sie von einem auf dem Planeten lebenden Beobachter gesehen wird.]

Wie Sie wahrscheinlich wissen, wenn sich ein Vektor mit fester Länge um eine Achse mit einer Winkelgeschwindigkeit dreht, ergibt das Kreuzprodukt der Winkelgeschwindigkeit und dieses Vektors zu einem bestimmten Zeitpunkt die Änderungsrate dieses Vektors zu diesem Zeitpunkt. Also haben wir:

\frac{D {\vec{N}}_{S u N}}{D T} = \vec{Ω} \times {\vec{N}}_{S u N},

$\frac{d \vec{n}_{sun}}{d t} = \vec{\Omega}\times\vec{n}_{sun},$ und auch:

\frac{D {\vec{N}}_{S u R F}}{D T} = \vec{ω} \times {\vec{N}}_{S u R F},

$\frac{d \vec{n}_{surf}}{d t} = \vec{\omega} \times \vec{n}_{surf},$ dann können wir zum inneren Produkt übergehen:

\begin{aligned} \frac{D}{D T} ({\vec{N}}_{S u N} . {\vec{N}}_{S u R F}) & = (\vec{Ω} \times {\vec{N}}_{S u N}) . {\vec{N}}_{S u R F} + {\vec{N}}_{S u N} . (\vec{ω} \times {\vec{N}}_{S u R F}) \\ = {\vec{N}}_{S u R F} . [(\vec{Ω} - \vec{ω}) \times {\vec{N}}_{S u N}] \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt} (\vec{n}_{sun}. \vec{n}_{surf}) &= (\vec{\Omega}\times \vec{n}_{sun}).\vec{n}_{surf} + \vec{n}_{sun}.(\vec{\omega} \times \vec{n}_{surf})\\ &= \vec{n}_{surf}.[(\vec{\Omega}-\vec{\omega})\times \vec{n}_{sun}] \end{align}$

Und wählen Sie dann eine geeignete Koordinate und lösen Sie diese Gleichung (Eigentlich scheint das Lösen nach $\vec{n}_{surf}$ Und $\vec{n}_{sun}$ direkt ist viel einfacher)
Hoffe, dass es hilft.

Was die Annahme betrifft, so scheint sie laut Bildern auf dieser Wiki-Seite (insbesondere der ersten) auf dieses Problem anwendbar zu sein.
Angesichts Ihres Kommentars wäre das richtige Koordinatensystem dafür auf der Sonne mit einem Achsenpunkt am Perihel und einer z-Achse senkrecht zur Umlaufbahnebene fixiert. Dann die zwei unabhängigen Rotationen, eine dreht den Vektor, der von der Sonne zum Planeten zeigt, einfach durch $\Omega \,t$ um $z$ Achse, die andere dreht die Flächennormale um sich $\vec{\omega}$ von $\omega$ sollten die nötigen gedrehten Vektoren ergeben, die dann das Skalarprodukt ergeben können, oder?

cmaster - monica wieder einsetzen · Answer 3

Sie haben hier vier verschiedene Koordinatensysteme im Spiel:

Koordinaten auf der Erde fixiert. Denken Sie an Breite/Länge/Höhe oder ein kartesisches System, bei dem London bei einer einzigen konstanten Koordinate bleibt.
Koordinaten fest zum Massenmittelpunkt der Erde, aber rotationsfest zur Himmelskugel. In diesem Koordinatensystem bewegen sich Orte am Äquator mit einer Geschwindigkeit von nach Osten $\frac{40000km}{24h} = 1667\frac{km}{h}$ .
Koordinaten fest zum Massenmittelpunkt der Sonne, aber rotationsfest zur Himmelskugel. In diesem System stehen die Pole der Erde nicht mehr still, sie bewegen sich um die Sonne herum $\frac{150\cdot10^6km\cdot2\pi}{365.25\cdot24h} \approx 100000km/h$
Koordinaten fixiert auf den Massenmittelpunkt der Sonne, aber rotatorisch fixiert, um dem Massenmittelpunkt der Erde auf seiner jährlichen Reise um die Sonne zu folgen. In diesem System dreht sich die Erdachse selbst im Laufe des Jahres.

Zwischen diesen drei Koordinatensystemen gibt es einfache Transformationen:

1 <-> 2: Rotation um die Erdachse.

Sowohl Normalen- als auch Ortsvektoren werden übersetzt.
2 <-> 3: Verschiebung entlang des Vektors, der den Massenmittelpunkt der Erde und der Sonne verbindet.

Diese Transformationen ändern keine Normalenvektoren.
3 <-> 4: Rotation um die Sonne innerhalb der Erdbahnebene.

Auch hier werden sowohl Normalen als auch Ortsvektoren transformiert.

Alle diese Transformationen sind zeitabhängig.

Ihr Vektor $\vec{n}_{surf}$ eine Konstante im Koordinatensystem 1 ist; $\vec{n}_{sun}$ ist eine Konstante in System 4.

Als solches müssen Sie nur entweder transformieren $vec{n}_{surf}$ bis es in den Koordinaten des Systems 4 ausgedrückt wird, oder transformieren $vec{n}_{sun}$ bis es in den Koordinaten von System 1 ausgedrückt wird. Sobald Sie beide Vektoren im selben Koordinatensystem haben, ist die Berechnung ihres Skalarprodukts trivial.

Anmerkungen:

Die Transformationen sind zeitabhängig, sodass die Vektoren nach der ersten Transformation Funktionen der Zeit sind $\vec{n}_{surf}(t)$ Und $\vec{n}_{sun}(t)$ .
Die zweite Transformation ist ein Noop auf Normalenvektoren. Es kommt nur auf die beiden Rotationen an. Sie müssen lediglich zwei zeitabhängige Rotationen um zwei verschiedene Achsen anwenden .

Eli · Answer 4

Ich nehme an, dass sich der Planet um die Oberflächenachse dreht $\vec{n}_f$ mit dem Drehwinkel $\omega\,t$ , und rotieren mit der Rotationsachse um die Sonne $\vec{n}_0$ mit dem Winkel $\Omega\,t$ .

Wo $\vec{n}_f$ ist dein $\vec{n}_{surf}$ Vektor

Daher:

R_{P} = R_{N 0} (Ω T, {\vec{\hat{N}}}_{0}) R_{F} (ω T, {\vec{\hat{N}}}_{F})

$R_p=R_{n0}(\Omega\,t,\vec{\hat{n}}_0)\,R_f(\omega\,t,\vec{\hat{n}}_f)$

Wo $R_{n0}\,,R_p$ sind Rodriguez' Rotationsmatrizen und $R_p$ ist die Rotationsmatrix zwischen dem planetenfesten Rahmen und dem Trägheitsrahmen.

Der Vektor $\vec{n}_{sun}$ rotiert mit $R_{n0}$ und der Vektor $\vec{n}_f$ rotiert mit $R_p$ Matrix, also das Punktprodukt nehmen:

mit :

{\vec{N}}_{S} = R_{N 0} {\vec{N}}_{S} (0)

$\vec{n}_s=R_{n0}\,\vec{n}_s(0)$

{\vec{N}}_{F} = R_{P} {\vec{N}}_{F} (0)

$\vec{n}_f=R_{p}\,\vec{n}_f(0)$

Daher:

{\vec{N}}_{S} \cdot {\vec{N}}_{F} = ({\vec{N}}_{S} (0))^{T} (R_{N 0})^{T} R_{N 0} R_{F} {\vec{N}}_{F} (0) = ({\vec{N}}_{S} (0)) \cdot [R_{F} (ω T, {\vec{\hat{N}}}_{F}) {\vec{N}}_{F} (0)]

$\vec{n}_{s}\cdot \vec{n}_{f}=(\vec{n}_s(0))^T\,(R_{n0})^T\,R_{n0}\,R_f\,\vec{n}_f(0) =(\vec{n}_s(0))\cdot \left[\,R_f(\omega\,t,\vec{\hat{n}}_f)\,\vec{n}_f(0)\right]$

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ehrliche_vivere

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