Was bedeuten die Ableitungen in diesen Hamilton-Gleichungen?

Question

Was bedeuten die Ableitungen in diesen Hamilton-Gleichungen?

Jack M

Ich habe einen Hamiltonoperator:

H = \dot{Q} P - L = \frac{1}{2} M {\dot{Q}}^{2} + k Q^{2} \frac{1}{2} - A Q

$H=\dot qp - L = \frac 1 2 m\dot q^2+kq^2\frac 1 2 - aq$

In einem System mit einer Koordinate $q$ (Wo $L$ ist die Lagrange-Funktion). Eine der Hamilton-Gleichungen lautet:

\dot{Q} = - \frac{\partial H}{\partial P}

$\dot q =-\frac {\partial H} {\partial p}$

Aber wenn ich versuche abzuleiten $H$ gegenüber $p$ , ich bin sehr verwirrt. Was ist die Ableitung von $q$ gegenüber $p=m\dot q$ , zum Beispiel? Wenn ich es auf den Punkt bringe, rührt meine Verwirrung von der Tatsache her, dass ich merke, dass ich nicht weiß, was diese partielle Ableitung bedeutet. Eine partielle Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen sollte in Bezug auf einen Index genommen werden (Sie geben einfach an, welche Variable, die als "Slot" in der Funktion angesehen wird, in Bezug auf die Sie ableiten). Ich nehme an, mir ist nicht klar, welche Funktion mit mehreren Variablen $H$ darstellt (ich meine, $q$ Und $\dot q$ sind Funktionen von $t$ , also könnte man sagen, es ist eine Funktion mit einer Variablen ...), oder wie ich interpretieren sollte $p$ als Variable.

Ich habe ähnliche Schwierigkeiten mit der Gleichung $\dot p=\frac {\partial H} {\partial q}$ , obwohl ich glaube, ich kann es verstehen $\frac {\partial H} {\partial t} = \frac {dL} {dt}$ . Die linke Seite sollte nachgeben $m\dot q\ddot q + kq\dot q - a\dot q$ , Rechts?

Jinawee

Ich denke, Ihr Zweifel ist der gleiche wie: physical.stackexchange.com/q/885

Jack M

@jinawee Meine Frage ist eher rechnerisch / mathematisch, aber ja.

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/105912/2451

Antworten (2)

Was bedeuten die Ableitungen in diesen Hamilton-Gleichungen?

Ich denke, Ihr Zweifel ist der gleiche wie: physical.stackexchange.com/q/885
@jinawee Meine Frage ist eher rechnerisch / mathematisch, aber ja.

JoshPhysik · Answer 1

Beschränken wir die Diskussion der Einfachheit halber auf eine räumliche Dimension.

Was passiert mit partiellen Ableitungen?

Der Lagrangian ist eine Funktion zweier reeller Variablen. Wir beschriften diese Variablen üblicherweise $q, \dot q$ wegen ihrer physikalischen Bedeutung. Beispielsweise ist der Lagrangian für einen eindimensionalen einfachen harmonischen Oszillator

\begin{aligned} L (Q, \dot{Q}) = \frac{1}{2} M {\dot{Q}}^{2} - \frac{1}{2} k Q^{2} \end{aligned}

$\begin{align} L(q, \dot q) = \frac{1}{2}m \dot q^2 -\frac{1}{2}k q^2 \end{align}$ Beachten Sie, dass wir einfach hätten schreiben können

\begin{aligned} L (♡, ♣) = \frac{1}{2} M ♣^{2} - \frac{1}{2} k ♡^{2}, \end{aligned}

$\begin{align} L(\heartsuit, \clubsuit) = \frac{1}{2}m\clubsuit^2 - \frac{1}{2}k\heartsuit^2, \end{align}$ weil wir nur Beschriftungen für die beiden Slots verwenden, die beliebige Symbole sein können, die wir auswählen. Es ist jedoch bequem, sich an eine bestimmte Bezeichnung zu halten, weil wir dann eine bequeme Notation für die partiellen Ableitungen verwenden können. Wenn wir zum Beispiel die verwenden

q, \dot{q}

$q, \dot q$ Beschriftung, dann die Ausdrücke

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial Q}, \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial q}, \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot q} \end{align}$ bedeuten die Ableitungen von

L

$L$ bezüglich seines ersten bzw. zweiten Arguments ("Slots"). Beachten Sie jedoch, dass wir, wenn wir die zweite Beschriftung oben verwendet haben, genauso gut hätten schreiben können

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial ♡}, \frac{\partial L}{\partial ♣} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial \heartsuit}, \qquad \frac{\partial L}{\partial \clubsuit} \end{align}$ für die gleichen Derivate.

Was genau ist der Hamiltonian ... wirklich?

Nun ist der Hamilton-Operator auch eine Funktion von zwei reellen Variablen, und wir nennen sie herkömmlich $q$ Und $p$ , aber wie wird diese Funktion aus einem gegebenen Lagrange erzeugt $L$ ? Nun, wir müssen hier vorsichtig sein, denn hier neigen Physiker dazu, die Notation wirklich zu missbrauchen.

Wir definieren zunächst eine Funktion $\bar p$ (der kanonische Impuls konjugiert zu $q$ ) als bestimmte Ableitung des Lagrange:

\begin{aligned} \bar{P} = \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}, \end{aligned}

$\begin{align} \bar p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}, \end{align}$ wobei ich die herkömmliche Bezeichnung für die Argumente des Lagrange verwende. Ich habe eine Stange angezogen

p

$p$ hier, um den üblichen Mißbrauch der Notation zu vermeiden, den Sie in der Physik sehen werden, und um die eigentliche Mathematik dessen zu betonen, was vor sich geht. Beachten Sie insbesondere, dass bei dieser herkömmlichen Kennzeichnung

\bar{p}

$\bar p$ ist eine Funktion zweier reeller Variablen

q

$q$ Und

\dot{q}

$\dot q$ .

Als nächstes schreiben wir die Beziehung

\begin{aligned} P = \bar{P} (Q, \dot{Q}), \end{aligned}

$\begin{align} p = \bar p(q, \dot q), \end{align}$ und wir invertieren es, um es zu schreiben

\dot{q}

$\dot q$ bezüglich

q

$q$ Und

p

$p$ , jetzt haben wir also

\begin{aligned} \dot{Q} = etwas Ausdruck in Bezug auf Q, Und P = F (Q, P), \end{aligned}

$\begin{align} \dot q = \text{some expression in terms of $q$, and $p$} = f(q,p), \end{align}$ Abschließend definieren wir

\begin{aligned} H (Q, P) = P F (Q, P) - L (Q, F (Q, P)) . \end{aligned}

$\begin{align} H(q,p) = p f(q,p) - L(q, f(q,p)). \end{align}$ Beachten Sie noch einmal, dass wir die Argumente genauso gut hätten beschriften können

H

$H$ mit beliebigen Beschriftungen, aber sobald wir dies getan haben, bleiben wir normalerweise bei dieser Beschriftung, in welchem Fall die gleichen Bemerkungen, die wir oben für die Ableitungen der Lagrange gemacht haben, hier gemacht werden können.

Beachten Sie, dass hier intuitiv passiert, dass der Hamilton-Operator „als Funktion von“ definiert ist $q$ Und $p$ ; Sie sollten es niemals als Funktion von schreiben $q$ Und $\dot q$ ."

Beispiel. Betrachten wir wieder den eindimensionalen einfachen harmonischen Oszillator. Wir haben

\begin{aligned} \bar{P} (Q, \dot{Q}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} (Q, \dot{Q}) = M \dot{Q} \end{aligned}

$\begin{align} \bar p (q, \dot q) = \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q, \dot q) = m \dot q \end{align}$ So jetzt der Zusammenhang

\bar{p} (q, \dot{q}) = p

$\bar p (q, \dot q) = p$ Ist

\begin{aligned} M \dot{Q} = P \end{aligned}

$\begin{align} m \dot q = p \end{align}$ und damit Inversion zu schreiben

\dot{q}

$\dot q$ bezüglich

q

$q$ Und

p

$p$ ist in diesem Fall super einfach;

\begin{aligned} \dot{Q} = \frac{P}{M} = F (Q, P) . \end{aligned}

$\begin{align} \dot q = \frac{p}{m} = f(q,p). \end{align}$ Es folgt dem

\begin{aligned} H (Q, P) & = P F (Q, P) - L (Q, F (Q, P)) \\ = P (P / M) - \frac{1}{2} M (P / M)^{2} + \frac{1}{2} k Q^{2} \\ = \frac{P^{2}}{2 M} + \frac{1}{2} k Q^{2} \end{aligned}

$\begin{align} H(q,p) &= p f(q,p) - L(q, f(q,p)) \\ &= p(p/m) - \frac{1}{2}m(p/m)^2 +\frac{1}{2}kq^2 \\ &= \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2 \end{align}$ Nehmen Sie nun Ableitungen in Bezug auf

q

$q$ Und

p

$p$ bedeutet einfach, Ableitungen in Bezug auf das erste und zweite Argument dieser Funktion zweier reeller Variablen zu bilden.

Was ist mit den Hamilton-Gleichungen usw.?

Nun, da wir wissen, was der Hamilton-Operator ist und wie er berechnet wird, wenden wir uns Gleichungen wie den Hamilton-Gleichungen zu:

\begin{aligned} \dot{Q} = \frac{\partial H}{\partial P}, \dot{P} = - \frac{\partial H}{\partial Q}, \end{aligned}

$\begin{align} \dot q = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}, \end{align}$ Auch hier ist Ihre Verwirrung nicht überraschend, da Physiker dafür berüchtigt sind, in diesen Fällen die Notation zu missbrauchen und nicht darauf hinzuweisen.

Um dies richtig zu interpretieren, beachten wir, dass in der Hamiltonschen Formulierung der Zustand des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ besteht aus einem Paar $(q(t),p(t))$ gibt den Wert der Position des Systems und seines kanonischen Momentums zu diesem Zeitpunkt an $t$ . Um allgemeine Verwirrung zu vermeiden, verwenden wir eigentlich eine andere Notation und schreiben $(\gamma_q(t), \gamma_p(t))$ für den aktuellen Zustand des Systems $t$ und reservieren $q$ Und $p$ für Etiketten des Arguments von $H$ .

Dann sagen Hamiltons Gleichungen wirklich, dass wenn das Paar $(\gamma_q(t), \gamma_p(t))$ ist also eine vom System realisierte physikalische Bewegung

\begin{aligned} {\dot{γ}}_{Q} (T) = \frac{\partial H}{\partial P} (γ_{Q} (T), γ_{P} (T)), {\dot{γ}}_{P} (T) = - \frac{\partial H}{\partial Q} (γ_{Q} (T), γ_{P} (T)) . \end{aligned}

$\begin{align} \dot \gamma_q(t) = \frac{\partial H}{\partial p}(\gamma_q(t), \gamma_p(t)), \qquad \dot \gamma_p(t) = -\frac{\partial H}{\partial q}(\gamma_q(t), \gamma_p(t)). \end{align}$ für alle

t

$t$ . Mit anderen Worten, wir erhalten ein System von gekoppelten ODEs erster Ordnung für die Funktionen

γ_{q} (t), γ_{p} (t)

$\gamma_q(t), \gamma_p(t)$ . Sie können aufgrund dieser Notation sehen, dass z.

\dot{q}

$\dot q$ in Hamiltons Gleichungen ist ein anderes Tier als

\dot{q}

$\dot q$ wie verwendet, um die Argumente der Lagrange-Funktion zu kennzeichnen. Im ersteren Fall ist es eine Funktion, im letzteren Fall nur ein Label.

Sie können diese Zweideutigkeit immer abwehren, indem Sie für diese Tiere in den verschiedenen Kontexten unterschiedliche Notationen verwenden, wie ich es hier getan habe. Sobald Sie jedoch wissen, was Sie tun, können Sie gerne wieder zum Überladen der von Ihnen verwendeten Symbole zurückkehren, und Sie werden wahrscheinlich weder prozedural noch konzeptionell einen Fehler machen. Tatsächlich macht das in der Praxis fast jeder, der weiß, was er tut, weil es schneller ist.

@Winther Lassen Sie mich wissen, wenn Sie noch Fragen oder Unklarheiten haben, und ich werde sie in einem Nachtrag ansprechen.
@Winther Oh, sorry, ich dachte, du wärst der Fragesteller; keine Respektlosigkeit beabsichtigt.
Keine genommen. Wenn ich in Zukunft Fragen zu diesem Thema habe, werde ich mich daran erinnern, dass Sie angeboten haben, sie zu beantworten :)
@joshphysics Vielen Dank für den obigen Beitrag. Wenn wir einen Lagrange haben, der hat $q$ Und $q^2$ , ist es möglich, zu berücksichtigen $q$ Und $q^2$ so unabhängig und zuverlässig sie wie $q_1:=q$ Und $q_2:=q^2$ ? Immerhin in der linearen Algebra $x$ Und $x^2$ gelten als unabhängig...
@mr.curious Du musst vorsichtig sein, wie du das Wort „unabhängig“ definierst. Im Vektorraum reeller Polynome vom Grad kleiner als $k$ , sind die Monome linear unabhängig, aber ich denke nicht, dass der Begriff der Unabhängigkeit in diesem Zusammenhang direkt relevant ist. Es scheint, als ob Sie (für ein System, das sich in einer räumlichen Dimension bewegt) versuchen, die Dimension des Konfigurationsverteilers durch Neudefinitionen von Koordinaten zu verdoppeln. Möglicherweise können Sie dies tun und das resultierende System als Hamilton-System mit der Einschränkung behandeln $q_2 = q_1^2$ , aber es ist mir unklar, was Sie gewinnen würden.
@joshphysics Danke für die Antwort. Der Grund, warum ich frage, ist, weil ich mich entschieden habe $q_2 := q_1^2$ man vergrößert die Dimension und kann dadurch eine symplektische Struktur erzwingen. Nehmen wir an, wir haben einen dynamischen Teil $p_1\dot{q}_1 + p_2\dot{q}_2 + p_1 p_2\dot{q}_3 + p_3\dfrac{d}{dt} (q_1 q_2)$ . Zuordnung: $p_1 p_2\rightarrow p_3$ , $p_3\rightarrow p_4$ Und $q_1 q_2\rightarrow q_4$ . Wir bekommen: $p_1\dot{q}_1 + p_2\dot{q}_2+p_3\dot{q}_3 + p_4\dot{q}_4$ . Und dann haben wir eine symplektische Struktur ... Ist das in Ordnung?

Winter · Answer 2

Ihr System hat zwei Freiheitsgrade: Sie müssen 'Position' angeben $q$ und 'Geschwindigkeit' $p$ . Im Hamiltonian $p$ Und $q$ gelten daher als unabhängige Variablen, die diese Freiheitsgrade beschreiben.

Um die partiellen Ableitungen zu berechnen, schreiben Sie den Hamilton-Operator so um, dass er nur davon abhängt $p$ Und $q$ , dh

H = \frac{1}{2 M} P^{2} + \frac{1}{2} k Q^{2} - Q A

$H = \frac{1}{2m}p^2 + \frac{1}{2}kq^2 - qa$

und benutze das $p$ Und $q$ unabhängig sind also

\frac{\partial H}{\partial P} = \frac{1}{M} P

$\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{1}{m}p$

Und

\frac{\partial H}{\partial Q} = k Q - A

$\frac{\partial H}{\partial q} = kq - a$

Was bedeuten die Ableitungen in diesen Hamilton-Gleichungen?

Jack M

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Jack M

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Winter

Herr. neugierig

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Herr. neugierig

Winter

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