Freiheitsgradparadox für einen starren Körper

Sie haben Einschränkungen dupliziert, denn wenn ein Partikel in allen drei Dimensionen mit allen anderen Partikeln eingeschränkt ist, werden alle Partikel eingeschränkt. Die Anzahl der Beschränkungen ist 3(N - 1).

Um ein Beispiel zu geben, nehmen Sie drei Teilchen a, b und c. Wenn a relativ zu b fixiert ist und auch relativ zu c fixiert ist, dann sind b und c relativ zueinander fixiert, ohne dass neue Beschränkungen eingeführt werden müssen.

Jedes Teilchen, aus dem ein mechanisches System besteht, kann durch drei unabhängige Variablen lokalisiert werden, die einen Punkt im Raum markieren.

Sie können ein beliebiges Partikel im starren Körper auswählen und es an eine beliebige Stelle verschieben, wobei Sie drei unabhängige Variablen angeben, die zur Angabe seiner Position erforderlich sind.

Wenn Sie ein zweites Partikel auswählen, wählen Sie einen weiteren Satz von drei unabhängigen Variablen, um seine Position anzugeben, wobei die offensichtlichen sphärischen Koordinaten mit dem Ursprung am ersten Partikel sind. Die erste Einschränkung besteht darin, dass der Radius eine Konstante ist, wodurch zwei verbleibende unabhängige Variablen übrig bleiben.

Wenn Sie ein drittes Partikel auswählen, haben Sie die vollständige Freiheit, es um einen beliebigen Winkel um die Achse durch das erste und das zweite Partikel zu drehen, was nur einen Freiheitsgrad ergibt, während die anderen beiden Variablen eingeschränkt sind.

Für die verbleibenden (N-3) Partikel sind alle drei Koordinaten eingeschränkt.

Daher beträgt die Gesamtzahl der Freiheitsgrade für einen starren Körper 3+2+1 = 6, mit 0+1+2+3(N-3) = (3N-6) Einschränkungen.

Damit werden die Freiheitsgrade 3N - (3N-6) = 6

Das Problem ist, dass Sie viele Ihrer Einschränkungen doppelt zählen. Wenn die (Vektor-)Verschiebungen zwischen den Partikeln A und B und zwischen B und C festgelegt sind, dann ist die Verschiebung zwischen A und C festgelegt. Daher ist die Einschränkung des Abstands zwischen A und C überflüssig und kann nicht separat gezählt werden.

Man könnte dies durch mathematische Induktion tun. Beginnen Sie mit vier Partikeln, deren Abstände sich nicht ändern. Eine einfache Aufzählung zeigt, dass es nur sechs Freiheitsgrade gibt. Fügen Sie nun ein weiteres Partikel hinzu, dessen Abstände relativ zu den anderen festen sind. Es gibt keine uneingeschränkten Freiheitsgrade, die dieses Teilchen in das System einbringt. Dasselbe können wir für ein System von N Teilchen tun. Das ist im mathematischen Sprachgebrauch nicht streng gesagt, enthält aber das Prinzip des Beweises.

Wie andere bereits darauf hingewiesen haben, überzählen Sie die Einschränkungen. Ich werde versuchen, das mit dieser Illustration zu erklären.

Im Falle von$N=2$, bestimmen die Positionen der beiden Punkte bereits den Abstand zwischen ihnen, und daher gibt es keine Beschränkungen.

Im Falle von$N=3$, es gibt$3$Einschränkungen: der feste Abstand zwischen dem einen Punkt und den beiden anderen (in Schwarz) und der verbleibende feste Abstand (in Blau). Für$N=4$, Logik ist im Wesentlichen die gleiche.

Die Dinge werden anders mit$N=5$. Was Sie getan haben, ist die Verbindung zwischen den beiden Punkten, die im Bild nicht verbunden sind, als Einschränkung zu zählen. Der Grund, warum Sie das nicht tun können, ist, dass die Position dieser Punkte bereits durch die drei Linien bestimmt ist, die mit ihnen verbunden sind. Die gleiche Schlussfolgerung kann für erreicht werden$N>5$.

Diese Beschränkungen sind nicht unabhängig.

Du zählst hier doppelt. Nehmen wir drei Teilchen. Du zählst$\binom{3}{2}=3$DOFs, richtig? Aber das Festlegen des Vektorabstands zwischen Teilchen 1 und 2 und das anschließende Festlegen zwischen 2 und 3 schließt das Festlegen zwischen 1 und 3 ein. Mathematisch gesehen gilt:$\vec{d}_{1,3}=\vec{d}_{1,2}+\vec{d}_{2,3}$

Der einfachere Weg, DOFs zu zählen, ist so. Für ein Molekül mit N Teilchen ist die Anzahl der Freiheitsgrade$3N$. Davon werden 3 translational sein. Für ein Punktmolekül (dh ein einzelnes Atom) subtrahieren Sie 3, da es 0 Rotations-DOFs hat. Subtrahieren Sie für ein perfekt lineares Molekül 1, da es 2 Rotations-DOFs hat (Rotation entlang seiner Achse ist irrelevant). Nun vernachlässigen wir normalerweise Schwingungs-DOFs (bei normalen Temperaturen). Vibrations-DOFs sind alle verbleibenden DOFs. Somit haben wir immer insgesamt 3N DOFs, von denen wir nur die translatorischen (3) und rotatorischen (2 oder 3) DOFs zählen können. Siehe die Tabelle hier .