Ein anderer Beweis für 6 Freiheitsgrade

Ich möchte einen anderen Beweis von 6 Freiheitsgraden eines festen Objekts aus N Partikel. Ich denke in diese Richtung:

Die Definition eines starren Körpers ist

| R ich → − R J → | = Konstante   ∀   ich , J .

Das gibt mir N C 2 Einschränkungen. Es gibt insgesamt 3 N Gleichungen, so sollte die Anzahl der freien Variablen sein

N = 3 N −   N C 2 = N ( 5 − N ) 2
das ist eindeutig nicht die Antwort als N Ist N abhängig, aber es sollte sein 6 .

Das möchte ich zeigen

Anzahl der tatsächlich erforderlichen Einschränkungen = 3 N − 6

das ist die richtige Antwort, da ich weiß N = 6 .

Mir ist der Beweis in Goldstein, Rana Joag usw. bekannt. Ich frage mich, wie man es nach diesem Ansatz macht.

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/20954/2451 und Links darin.
Was macht N C 2 bedeuten? Ich habe dieses Symbol noch nie gesehen.
Die folgende Referenz liefert einen Beweis für das oben gestellte Problem. arxiv.org/abs/1002.2002

Antworten (1)

Du machst zu viele Einschränkungen. Angenommen, Sie haben N = 4 Partikel. Diese haben 3 N = 12 Positionen und N ( N − 1 ) / 2 = 6 Zwangsbedingungen, die einen Tetraeder bilden. So hast du 12 − 6 = 6 Freiheitsgrade, wie erwartet.

Fügen Sie nun ein fünftes Teilchen hinzu. Dies fügt drei weitere Positionen hinzu, aber es reicht aus, ihnen nur drei Beschränkungen aufzuerlegen, z | R → 5 − R → 1 | , | R → 5 − R → 2 | , Und | R → 5 − R → 3 | . Dies bestimmt die Position von Teilchen 5 in Bezug auf 1, 2 und 3, wodurch ein weiterer Tetraeder gebildet wird. Aber es bestimmt auch automatisch die Position von Partikel 5 in Bezug auf Partikel 4.

Mit anderen Worten, für jedes neue Partikel müssen Sie drei neue Einschränkungen hinzufügen, damit die Anzahl der Freiheitsgrade 6 bleibt.

Ja. Wie gesagt, dieser Beweis ist mir bekannt. Können Sie zeigen, wie die minimale Anzahl von Einschränkungen (3N-6) ist?
Ich weiß nicht, wie ich es anders formulieren soll. Für 4 Partikel benötigen Sie 6 Einschränkungen, sodass sie einen Tetraeder bilden, der ein starrer Körper ist. Für ein zusätzliches Partikel müssen Sie drei Einschränkungen hinzufügen, sodass es mit 3 anderen Partikeln ein starres Tetraeder bildet. Also die Gesamtmenge der Einschränkungen für N > 4 Ist 6 + 3 ( N − 4 ) = 3 N − 6 .
@Man Ich denke, diese Antwort beantwortet tatsächlich Ihre Frage. Das Problem ist, dass Sie naiv zählen | R ich − R J | = C Ö N S T als N C 2 Einschränkungen. Der Punkt ist, wie Pulsar schön macht, dass diese Gleichungen nicht alle unabhängig sind. Also mit anderen Worten unter den N C 2 Gleichungen ein | R ich − R J | = C Ö N S T einige sind degeneriert, und so ist die wahre Anzahl der Einschränkungen N C 2 − ( N u M B e R   Ö F   D e G e N e R A C ich e S ) . Pulsar hat schön explizit gezeigt, wie das funktioniert N = 4 , 5 . Wenn Sie einen vollständigeren Beweis wünschen, besteht die Herausforderung darin, die Entartung zu zeigen 6 − 3 N + N C 2 ...
... So könnten Sie das zum Beispiel tun, indem Sie eine Matrix konstruieren, die die Gleichungen darstellt | R ich − R J | = C Ö N S T und Bestimmung des Ranges. Aber das Argument, das Pulsar anführt, ist tatsächlich ein äußerst cleverer und effizienter Weg, um die Entartung der Gleichungen zu bestimmen, im Grunde ein induktiver Beweis. Ich denke also, es geht eher darum, Ihre Frage neu zu interpretieren, als eine andere Antwort zu finden.
Ein anderer Beweis für 6 Freiheitsgrade
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