Warum wird der Hamiltonoperator eines Lagrangeoperators, der nur aus einem gekoppelten Term besteht, zu Null?

Question

Warum wird der Hamiltonoperator eines Lagrangeoperators, der nur aus einem gekoppelten Term besteht, zu Null?

Physik
hamiltonisch
eingeschränkte Dynamik
lagrangescher Formalismus
Hamiltonscher Formalismus

xabdax

Nehmen wir an, unser Lagrange sieht ungefähr so aus:

\begin{matrix} (1) & L = \int D z Q \cdot \dot{A}, \end{matrix}

$L = \int dz\, Q\cdot \dot{A},\tag{1}$

Wo $Q$ Und $A$ sind zwei verallgemeinerte Koordinaten und $\dot{Q}$ Und $\dot{A}$ wären die jeweiligen zeitlichen Ableitungen. Wenn ich dies Legendre-transformieren wollte, dann unter Berücksichtigung der konjugierten Impulse

\begin{matrix} (2) & P_{Q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} = 0 \end{matrix}

$P_Q = \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} = 0\tag{2}$ Und

\begin{matrix} (3) & P_{A} = \frac{\partial L}{\partial \dot{A}} = Q \end{matrix}

$P_A = \frac{\partial L}{\partial \dot{A}} = Q\tag{3}$ der Hamiltonoperator wird zu:

\begin{matrix} (4) & H = P_{Q} \dot{A} - L = \int D z Q \cdot \dot{A} - Q \cdot \dot{A} = 0. \end{matrix}

$H = P_Q\dot{A}-L= \int dz\,\, Q\cdot \dot{A} - Q\cdot \dot{A} = 0.\tag{4}$

Ist das richtig? Was bedeutet das überhaupt für das physikalische System?

AccidentalFourierTransform

mögliche Duplikate: Dirac-Gleichung als Hamiltonsches System , Warum ist die Hamiltonsche Null in der Relativitätstheorie? , Mein Hamiltonoperator für einen Lichtstrahl verschwindet .

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Warum wird der Hamiltonoperator eines Lagrangeoperators, der nur aus einem gekoppelten Term besteht, zu Null?

mögliche Duplikate: Dirac-Gleichung als Hamiltonsches System , Warum ist die Hamiltonsche Null in der Relativitätstheorie? , Mein Hamiltonoperator für einen Lichtstrahl verschwindet .

QMechaniker · Answer 1

Erinnern Sie sich, dass der Zweck der Legendre-Transformation vom Lagrange- zum Hamilton-Formalismus darin besteht, die Bewegungsgleichungen in eine Form erster Ordnung zu bringen. Hier ist die Faddeev-Jackiw-Methode so viel einfacher [als die traditionelle Dirac-Bergmann-Analyse, die OP gerade durchgeführt hat]: OPs Lagrangian $Q\dot{A}$ ist bereits im Erstbestellformular $p\dot{q}-H$ wenn wir uns identifizieren

Q = A, P = Q, H = 0!

$q~=~A,\qquad p~=~Q,\qquad H~=~0~!$ Ein verschwindender Hamiltonoperator bedeutet, dass alle Phasenraumvariablen Bewegungskonstanten sind. Sie spiegelt die World-Line (WL) Reparametrisierungsinvarianz der Aktion wider, vgl. zB this & this Related Phys.SE posts.

Was bedeutet das für das physikalische System? Wenn der Hamiltonoperator null ist, ist die Energie dann nicht auch null?

Warum wird der Hamiltonoperator eines Lagrangeoperators, der nur aus einem gekoppelten Term besteht, zu Null?

xabdax

AccidentalFourierTransform

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