Lagrange zu Hamilton in der Quantenfeldtheorie

Vladimirs Antwort hat die richtige Essenz, ist aber auch irreführend, also lassen Sie mich das klarstellen.

Die Formel

$$H = \sum_i p_i\dot q_i - L$$ Die Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und dem Lagrange-Operator ist völlig allgemein. Es gilt in allen Theorien, die sowohl Lagrange- als auch Hamiltonianer zulassen, ob sie relativistisch sind oder nicht, ob sie neben der Lorentz-Symmetrie eine andere Symmetrie haben oder nicht.

Wenn Sie die Feldtheorie haben, können sowohl der Hamilton-Operator als auch der Lagrange-Operator als räumliche Integrale ihrer Dichten geschrieben werden.

$$H = \int d^3x \, {\mathcal H}, \quad L = \int d^3x\, {\mathcal L}$$ Wenn wir das mit der ersten Formel kombinieren, erhalten wir die Beziehung $$\mathcal{H} = \sum_i\pi_i \dot{\phi_i} - \mathcal{L}$$ Nun, Sie haben eine andere Formel vorgeschlagen, und ich schätze, der Grund, warum Sie sie vorgeschlagen haben, ist, dass sie für Sie eher Lorentz-invariant aussieht, als es für Lorentz-invariante Feldtheorien angemessen ist. Das ist eine schöne Motivation.

Was jedoch an Ihrer Argumentation falsch ist, ist die Annahme, dass sowohl die Hamilton-Dichte als auch die Lagrange-Dichte Lorentz-invariant sind. Während die Lagrange-Dichte ein schöner Skalar ist, ist sie Lorentz-invariant (zumindest die Dichte am Ursprung), und weil das Integral davon die Lorentz-invariante Aktion ist, die stationär sein sollte, gilt das nicht für der Hamiltonoperator und seine Dichte.

Der Hamilton-Operator ist untrennbar mit der Zeitrichtung verbunden: Er ist der Generator der Verschiebungen in der Zeit (die räumlichen Gegenstücke des Hamilton-Operators sind die räumlichen Komponenten des Impulses); es ist die Energie, die 0-te Komponente eines 4-Vektors,$H\equiv p^0$. Das Argument, dass diese Formel Lorentz-kovariant sein sollte, ist also ungültig, Ihre vorgeschlagene Formel ist falsch, und die richtige Formel wurde am Anfang meines Kommentars gerechtfertigt.

Lubos Motl und Vladimir Kalitvianski haben bereits korrekte konventionelle Antworten zur Legendre-Transformation vom Lagrange- zum Hamilton-Formalismus gegeben.

Trotzdem scheint es angebracht zu erwähnen, dass die zweite Gleichung von OP (v2)

$$\mathcal{H} ~=~ \pi_{\mu}\partial^{\mu} \phi - \mathcal{L}$$

ist genau der Ausgangspunkt für die De Donder-Weyl-Theorie , die Polymomente einführt.

Zum offensichtlich kovarianten Hamilton-Formalismus siehe auch z. B. Lit. 1 und diesen Phys.SE-Beitrag.

Verweise:

1. C. Crnkovic und E. Witten, Kovariante Beschreibung des kanonischen Formalismus in geometrischen Theorien. Veröffentlicht in Dreihundert Jahre Gravitation (Hrsg. SW Hawking und W. Israel), (1987) 676.

Auch in der Relativitätstheorie spielt die Zeit eine besondere Rolle. Zeit- und Raumkoordinaten ("Längen") sind nicht austauschbar. Mit anderen Worten, es gibt keine vollständige Symmetrie zwischen ihnen, obwohl sie sich möglicherweise gemeinsam transformieren. Wir wenden also eine übliche Formel zur Konstruktion eines Hamilton-Operators an, wenn der entsprechende Lagrange-Operator bekannt ist.

Übrigens ist der Hamiltonsche Formalismus in der QFT genauso relativistisch invariant wie der Lagrangesche Formalismus; Ersteres ist im Gegensatz zu Letzterem einfach nicht manifest invariant.

Ein weiterer Hinweis auf einen solchen Ansatz (ein kurzes Papier):

Hamiltonsche Mechanik von Feldern RH Good, Jr. Institut für Physik, University of California, Berkeley, Kalifornien Link

aus der Zusammenfassung:

In der relativistischen Feldmechanik führt man normalerweise die zeitliche Ableitung einer Feldkomponente als ihre Geschwindigkeit und die partielle Ableitung der Lagrange-Dichte in Bezug auf die Geschwindigkeit als ihren kanonisch konjugierten Impuls ein. Um Zeit und Raum äquivalent zu behandeln, behandelten Born und Weyl einmal die vier raumzeitlichen Ableitungen einer Feldkomponente als vier Geschwindigkeiten und führten die vier partiellen Ableitungen der Lagrange-Dichte nach den Geschwindigkeiten als vier Impulse ein. In der vorliegenden Arbeit wird diese Idee weitergeführt, um die Verallgemeinerungen der punktmechanischen Ideen von Hamilton-Gleichungen, Lagrange-Klammern, Poisson-Klammern und Bewegungsintegralen einzuführen.