Welche kanonischen Impulse sind die „richtigen“?

1. OP erwägt, ob die entsprechende Hamilton-Formulierung von der Lagrange-Dichte betroffen ist

   $$\tag{1} {\cal L}~\longrightarrow~\tilde{\cal L}~:=~ {\cal L}+\sum_{\mu=0}^3d_{\mu}F^{\mu}$$ wird mit einer totalen Divergenz modifiziert$^1$Begriff$d_{\mu}F^{\mu}$, so dass die Definition des kanonischen Impulses
   $$\tag{2} p_i~:=~ \frac{\delta L}{\delta v^i}-\frac{d}{dt}\frac{\delta L}{\delta \dot{v}^i}+\ldots, \qquad L~:=~\int\! d^3x~{\cal L},$$ auch modifiziert? Das ist eine gute Frage.

2. Einige technische Hinweise:

   • (i) Der Grund für die funktionalen (statt partiellen) Ableitungen in Gl. (2) liegt an der Präsenz räumlicher Richtungen in der Feldtheorie (im Gegensatz zur Punktmechanik), vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

   • (ii) Die Auslassungspunkte$\ldots$in Gl. (2) bezeichnet eine mögliche Abhängigkeit von höheren Zeitableitungen in der Lagrange-Funktion$L[q,v,\dot{v},\ddot{v},\dddot{v},\ldots;t]$. (Wir gehen implizit davon aus, dass alle Abhängigkeiten$\dot{q},\ddot{q},\dddot{q},\ldots,$wurde durch ersetzt$v,\dot{v},\ddot{v},\ldots,$in der Lagrangefunktion.) Obwohl wir uns hier nur für den normalen physikalischen Fall interessieren , in dem die Euler-Lagrange-Gleichungen höchstens zwei Zeitableitungen enthalten, könnten immer noch höhere Zeitableitungen innerhalb eines Gesamtdivergenzterms in der Aktion vorhanden sein. Höhere Zeitableitungen sind nicht nur eine rein akademische Übung. ZB enthält die Einstein-Hilbert (EH) Wirkung höhere Zeitableitungen, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Wir kehren in Abschnitt 7 kurz zu höheren Zeitableitungen zurück.

   • (iii) Das Ändern der Einwirkung mit einem Term der totalen Divergenz kann die Wahl konsistenter Randbedingungen beeinflussen. Beispielsweise wird die EH-Aktion aus Konsistenzgründen mit einem Gibbons-Hawking-York (GHY)-Grenzterm ergänzt.

3. OP fragt nicht nach der Lagrange-Formulierung und weiß bereits, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht geändert werden, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Konzentrieren wir uns von nun an auf die Legendre-Transformation und die Hamiltonsche Formulierung.

4. Die Transformation (1) besteht aus zwei Arten von Transformationen:

   • (i) eine Änderung durch eine gesamte räumliche Ableitung

     $$\tag{3} {\cal L}~\longrightarrow~\tilde{\cal L}~:=~ {\cal L} +\sum_{k=1}^3d_kF^k,$$ was die Impulsdefinition (2) nicht ändert; Und

   • (ii) eine Änderung durch eine Gesamtzeitableitung$^1$

     $$\tag{4}L~\longrightarrow~\tilde{L}~:=~L+\frac{\partial G}{\partial t}+ \int\! d^3x\left[\frac{\delta G}{\delta q^i} v^i + \frac{\delta G}{\delta v^i} \dot{v}^i+\ldots \right] ~\approx~L+\frac{dG}{dt}.$$ Wir werden der Einfachheit halber im Folgenden nur die letztere Transformation (4) betrachten.

5. Betrachten wir der Einfachheit halber die Punktmechanik. (Die feldtheoretische Verallgemeinerung ist einfach.) Gl. (2) und (4) werden dann

   $$\tag{5} p_i~:=~ \frac{\partial L}{\partial v^i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{v}^i}+\ldots,$$ $$\tag{6}L~\longrightarrow~\tilde{L}~:=~L+\frac{\partial G}{\partial t}+ \frac{\partial G}{\partial q^i} v^i + \frac{\partial G}{\partial v^i} \dot{v}^i+\ldots ~\approx~L+\frac{dG}{dt},$$ bzw. Der kanonische Impuls (5) ändert sich wie folgt $$\tag{7} P_i~=~p_i+\frac{\partial G}{\partial q^i} +\frac{\partial^2 G}{\partial v^i\partial q^j} (v^j-\dot{q}^j) ~\approx~p_i+\frac{\partial G}{\partial q^i} .$$ [Der$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit modulo Bewegungsgleichungen oder$v^i\approx\dot{q}^i$.]

6. Nehmen wir zunächst an, dass die Legendre-Transformation$v\leftrightarrow p$ist regelmäßig. Wenn$G$hängt nicht von den Geschwindigkeitsfeldern ab$v^i$und höheren Zeitableitungen in der Transformation (6), dies ist Aufgabe 8.2 (Übung 8.19) in Goldstein, Classical Mechanics, 3rd edition (2nd edition). Man kann eine kanonische Transformation vom Typ 2 verwenden

   $$\tag{8}p_i\dot{q}^i-H ~=~ -\dot{P}_iQ^i-K + \frac{dF_2}{dt},$$ $$\tag{9} \qquad F_2~:=~P_i q^i-G,$$ Wo $$\tag{10} Q^i~:=~q^i, \qquad P_i~:=~p_i+\frac{\partial G}{\partial q^i}, \qquad K~:=~H-\frac{\partial G}{\partial t}.$$ Ein Hamiltonsches Aktionsprinzip, das entweder auf der linken Seite basiert. oder rechts. von Gl. (8) hat die Hamilton-Gleichungen $$\tag{11} \dot{q}^i~\approx~ \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad -\dot{p}_i~\approx~ \frac{\partial H}{\partial q^i},$$ und die Kamilton-Gleichungen $$\tag{12} \dot{Q}^i~\approx~ \frac{\partial K}{\partial P_i}, \qquad -\dot{P}_i~\approx~ \frac{\partial K}{\partial Q^i},$$ als stationärer Punkt bzw. Daher Gl. (11) und (12) sind unter der Transformation (6) äquivalent.

7. Wenn$G$hängt von den Geschwindigkeitsfeldern ab$v^i$, erscheinen höhere Zeitableitungen innerhalb des gesamten Zeitableitungsterms$\frac{dG}{dt}$, vgl. Gl. (6). Dann ergeben sich zusätzliche Komplikationen (Aufschreiben eines Äquivalenzbeweises). ZB die Relation für den nächsten Ostrogradsky-Schwung

   $$\tag{13} P^{(2)}_i~:=~ \frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{v}^i}+\ldots~=~\frac{\partial G}{\partial v^i}+\ldots,$$ kann typischerweise nicht invertiert werden, um die Beschleunigung zu eliminieren$\dot{v}^j$. Mit anderen Worten, die Legendre-Transformation ist singulär.

8. Im Falle singulärer Legendre-Transformationen ist es weniger klar, wird aber allgemein angenommen, dass die modifizierte Hamiltonsche Formulierung (die sich aus der Dirac-Bergmann-Beschränkungsanalyse ergibt) immer noch äquivalent ist.

9. Der Fall von OP (E & M) hat Einschränkungen (Gaußsches Gesetz), aber in diesem Fall ist es einfach, die Äquivalenz explizit zu überprüfen.

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$^1$Beachten Sie diese Subtilität.

Zwei verschiedene Lagrangians geben unterschiedliche kanonische Impulse.

Wenn sich zwei verschiedene Lagrangians durch einen Oberflächenterm unterscheiden, dann unterscheiden sie sich durch eine totale Divergenz. Und sie ergeben somit die gleichen Wirkungen, haben also die gleichen Bewegungsgleichungen.

Wenn Sie eine partielle Integration durchführen, erzeugen Sie einen Oberflächenterm (die Differenz zwischen den beiden). Stellen Sie sich vor, Sie subtrahieren die beiden Funktionen (Lagrangians sind Funktionen ihrer unabhängigen Variablen, keine Felder mit festen Werten), die Sie von der partiellen Integration ableiten. Sie unterscheiden sich durch einen Oberflächenterm. Stellen Sie sich diese nun als Spannung vor und finden Sie dann das elektrische Feld, das keine Ladung enthält. Das ist ein divergenzfreies Vektorfeld, dessen Fluss auf der Oberfläche dem entspricht, was Sie wollten.

Oder nehmen Sie einfach die beiden Lagrangians und subtrahieren Sie sie. Im Allgemeinen erhalten Sie etwas, das nur ein Oberflächenbegriff ist, ebenso wie die Divergenz von etwas.

Was richtig ist, kanonisches Momentum ist einfach kanonisch. Es ist zum Beispiel keine Quelle in einer physikalischen Feldgleichung, es ist einfach das, was es ist, was weniger ist, als die Leute vielleicht sagen wollen. Sie können das kanonische Momentum nicht messen.

Es ist nur das kanonische Momentum, das mit einem bestimmten Lagrangian verbunden ist. Und Lagrange-Operatoren, die sich durch eine totale Divergenz unterscheiden, ergeben die gleichen Bewegungsgleichungen, aber unterschiedliche kanonische Impulse.