Beweise zur Operatoralgebra [geschlossen]

Ich möchte die Community bitten, die ersten beiden Beweise unten zu überprüfen und mir zu helfen, durch den letzten zu kommen, da ich festzustecken scheine. Vielen Dank im Voraus.

Beweis 1: Gegeben seien zwei nichtkommutierende Operatoren$A$Und$B$, das ist,$[A,B] = C$, zeigen, dass solche Operatoren nicht dieselben Eigenvektoren haben können.

Versuchen:

Lassen Sie uns versuchen, es zu beweisen, indem wir das entgegengesetzte Szenario untersuchen, dh den Fall, dass sie denselben Eigenvektor teilen$|\phi \rangle$:

$$\begin{cases} A |\phi \rangle = a | \phi \rangle = |\psi_1 \rangle \\ B |\phi \rangle = b | \phi \rangle = |\psi_2 \rangle \end{cases}$$

$$B\left( A |\phi \rangle\right) = B |\psi_1 \rangle = b |\psi_1 \rangle = ba |\phi \rangle$$

$$A \left( B |\phi \rangle \right) = A |\psi_2 \rangle = a |\psi_2 \rangle = ab |\phi \rangle$$

$$[A,B]|\phi \rangle = \left( AB - BA\right)| \phi \rangle = \left( ab - ba \right)|\phi \rangle = C|\phi \rangle = c |\phi \rangle$$

$$(ab - ba) = c \neq 0$$

Wir sehen, dass die obige Gleichung stattdessen gleich Null sein sollte, daher können sie nicht denselben Eigenvektor teilen$|\phi \rangle$wenn sie nicht pendeln.

Beweis 2: Zeigen Sie, dass wenn der Eigenwert eines Operators eine reelle Zahl ist, dieser Operator hermitesch sein muss.

Versuchen:

Lassen Sie uns verwenden$A$als unser Operator, der auf seinen Eigenvektor wirkt$|\psi \rangle$, Dann

$$\begin{cases} A|\psi \rangle = a|\psi \rangle \\ \left( A |\psi \rangle \right)^{\dagger} = \langle \psi| A^{\dagger} = a^*\langle \psi| \end{cases}$$

$$\langle \psi| \left( A |\psi \rangle \right) = \langle \psi| a | \psi \rangle = a\langle \psi | \psi \rangle$$

$$\left( \langle \psi|A^{\dagger} \right) |\psi \rangle = \langle \psi|a^*|\psi \rangle = a^* \langle \psi| \psi \rangle$$

$$\langle \psi| A |\psi \rangle - \langle \psi|A^{\dagger} |\psi \rangle = a\langle \psi | \psi \rangle - a^* \langle \psi| \psi \rangle$$

Definitionsgemäß ist ein hermitescher Operator jeder selbstadjungierte Operator, d.h$A = A^{\dagger}$, ebenfalls aus dem Hilbertraum, weiß man, dass das Skalarprodukt eines Vektors für sich genommen immer Null oder positiv ist, dh$\langle \psi|\psi \rangle \geq 0$, die genau dann null ist, wenn$|\psi \rangle = 0$, und das ist hier nicht der Fall, da es ja trivial ist

$$\langle \psi| A |\psi \rangle - \langle \psi|A^{\dagger} |\psi \rangle = \left(A - A^{\dagger} \right)\langle \psi|\psi \rangle = a\langle \psi | \psi \rangle - a^* \langle \psi| \psi \rangle = \left( a - a^*\right) \langle \psi|\psi \rangle = 0$$

$$a=a^*$$

Nur reelle Zahlen sind ihr eigenes Konjugiertes.

Beweis 3: Angenommen, bei einer gegebenen Eigenwert-Eigenvektor-Gleichung hängt der Vektorzustand von einem externen Parameter ab, z. B. der Zeit, und auf ihn wirkt ein Operator, der die vierte zeitliche Ableitung ist. Wenn dieser Operator hermitesch ist, finden Sie den allgemeinsten möglichen Operator, der diese Bedingungen erfüllt, und welche Randbedingungen für die benötigten Eigenfunktionen gelten.

Versuchen:

Verwenden$A$als unser hermitescher Operator und$|\psi (t) \rangle$für seinen zeitabhängigen Eigenvektor und$a(t)$für seinen Eigenwert nehme ich an, dass die einfachste Eigenwert-Eigenvektor-Gleichung, die man schreiben kann, wäre

$$A|\psi (t) \rangle = a(t) |\psi (t) \rangle$$

Was den Operator betrifft, würde ich sagen, dass er direkt daraus folgt

$$A \sim \frac{\partial^4}{\partial t^4}$$

$$a(t) = a^*(t)$$

Nun, basierend auf der Annahme, dass ich bisher richtig lag, kommt der Teil, wo ich feststecke. Ich verstehe das allgemeine Konzept von Eigenwerten und Eigenfunktionen, dh$a(t)$würde eine Menge von Eigenfunktionen erzeugen$\psi(t)$, jedoch ist mir nicht ganz klar, welche Randbedingungen aus den bereitgestellten Informationen erforderlich wären, abgesehen davon, dass$a(t)$ist eine reelle Zahl. Irgendwelche Hinweise?