Wie definiert man das „natürliche“ Skalarprodukt auf einem Tensorproduktraum?

Eine Basis für einen Tensorproduktraum sind die Vektoren$|v_i\rangle\otimes |w_j\rangle$, Wo$i = 1,\ldots,N_V$Und$j = 1, \ldots, N_W$, Wo$N_V$Und$N_W$sind die Maße von$V$Und$W$, bzw. Beachten Sie, dass wir alle Kombinationen einbeziehen, nicht nur diejenigen wo$i=j$. Ein Vektor$|u\rangle$kann somit geschrieben werden:

$$|u\rangle = \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} u_{ij} |v_i\rangle\otimes |w_j\rangle$$

Das natürliche innere Produkt zwischen zwei Vektoren$|a\rangle,|b\rangle$ist dann:

$$\langle b | a \rangle := \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} \sum_{i'}^{N_V} \sum_{j'}^{N_W} b^*_{i'j'} a_{ij} \langle v_{i'} | v_i \rangle \langle w_{j'} | w_j \rangle$$ wenn die $\{|v_1\rangle\ldots,|v_i\rangle,\ldots,|v_{N_V}\rangle\}$Und $\{|w_1\rangle\ldots,|w_j\rangle,\ldots,|w_{N_W}\rangle\}$Basen sind beide orthonormal (in der Quantenmechanik sind sie es fast immer), dies vereinfacht sich zu: $$\langle b | a \rangle := \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} \sum_{i'}^{N_V} \sum_{j'}^{N_W} b^*_{i'j'} a_{ij} \delta_{ii'} \delta_{jj'} = \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} b^*_{ij} a_{ij}$$

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Um die "Natürlichkeit" dieser Auswahl zu begründen, möchte ich darauf hinweisen, dass der vertraute Raum von Funktionen (dh Wellenfunktionen) mehrerer Variablen (z$x,y,z$) ist das Tensorprodukt der Funktionenräume der einzelnen Variablen. Das kann man einfach sehen, indem man feststellt, dass es sich um eine Funktion handelt$f(x,y,z)$muss für alle möglichen Koordinatenkombinationen einen Wert angeben$(x,y,z)$, genau wie ein Vektor in dem von Ihnen angegebenen Raum durch seinen Koeffizienten gekennzeichnet ist$u_{ij}$für alle möglichen Indexpaare. Das Skalarprodukt zweier Funktionen$f(x,y,z)$Und$g(x,y,z)$ist natürlich:

$$\int dx \int dy \int dz g^*(x,y,z) f(x,y,z)$$ was völlig analog zu der oben gegebenen allgemeinen Definition ist.

Zur Indexnotation: Nielsen & Chuang betrachten beliebige endliche Summen

$$\sum_{i\in I} a_i \left| v_i \right\rangle \otimes \left| w_i \right\rangle, \qquad a_i~\in~\mathbb{C},$$ im Tensorprodukt $V\otimes W$, wo der Index gesetzt ist $I$ist beliebig aber endlich: $|I|<\infty$. Es wird beispielsweise keine lineare Unabhängigkeit von angenommen $$\left| v_i \right\rangle, \qquad i\in I.$$ Es wird auch keine lineare Unabhängigkeit von angenommen $$\left| w_i \right\rangle, \qquad i\in I.$$ Insbesondere ist es nicht notwendig anzunehmen, dass die Vektorräume $V$Und $W$gleiche Abmessung haben.