Bedeutung von ⟨qn|E⟩⟨qn|E⟩\langle q_n | E \rangle wenn EEE Energie ist, aber qnqnq_n nicht

Question

Bedeutung von ⟨qn|E⟩⟨qn|E⟩\langle q_n | E \rangle wenn EEE Energie ist, aber qnqnq_n nicht

Apoorv Potnis

In diesem Vortrag von Prof. Binney (gehe zu 15:40) erklärt er, dass, wenn wir ein System mit einem Zustand konstanter Energie haben, der Erwartungswert aller Observablen dieses Systems in Bezug auf die Zeit unverändert bleibt. Er schreibt den Ausdruck

⟨ Q_{N} | E ⟩

$\langle q_n | E \rangle$ Wo

q_{n}

$q_n$ ist eine Beobachtungsgröße. Es wird nicht gesagt, dass das Beobachtbare

q_{n}

$q_n$ etwas Energie muss sein. Jetzt, mit meinen begrenzten Kenntnissen der linearen Algebra, verstehe ich es

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle \phi | \psi \rangle$ als

ein inneres Produkt von $| \phi \rangle$ Und $|\psi \rangle$ Und
$\langle \phi | \psi \rangle = f(|\psi\rangle)$ Wo $f$ ist die zugeordnete lineare Funktion $| \phi \rangle$ der sich im dualen Raum des Raums befindet, in dem $| \phi \rangle$ Und $| \psi \rangle$ wohnen.

Nun, wenn $q_n$ ist keine Energie, wie kann dann $| q_n \rangle$ sich in dem Raum aufhalten, in dem $| E \rangle$ wohnt? Wenn nicht, wie dann $\langle q_n | E \rangle$ sinnvoll, im Zusammenhang mit 1?

Ref: Binney, James; Skinner, David Die Physik der Quantenmechanik , Oxford University Press, 2014.

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Ich glaube, ich verwechsle hier die Bedeutung von Staat. Wenn ich recht habe, dann $| E_1 \rangle$ bedeutet, dass der Zustand im System bestimmte Energie hat $E_1$ , $| p_1 \rangle$ bezeichnet den Zustand, in dem das System einen Impuls hat $p_1$ Und $| E_1, p_1 \rangle$ bedeutet den Zustand, in dem das System beide Energie hat $E_1$ und Schwung $p_1$ . Nun möchte ich fragen, ob $| E_1 \rangle$ , $| p_1 \rangle$ Und $| E_1, p_1 \rangle$ im selben Raum liegen oder nicht.

ZeroTheHero

Die Frage ergibt keinen Sinn. Eine Observable ist ein Operator, kein Zustand, geschweige denn im selben Raum wie

| E ⟩

$\vert E\rangle$ . Höchstwahrscheinlich

| q_{n} ⟩

$\vert q_n\rangle$ bezeichnet einen Eigenzustand von

{\hat{q}}_{n}

$\hat q_n$ , oder tatsächlich die

n

$n$ 'ter Eigenzustand des Observablen

\hat{q}

$\hat q$ .

Apoorv Potnis

@ZeroTheHero Ich bin verwirrt über die Verwendung des Wortes "beobachtbar". Meinen Sie konkret den Operator oder die physikalische Größe (die theoretisch gemessen werden kann, z. B. Impuls, Energie usw.)? In meiner Frage meinte ich eigentlich die physikalische Größe; genauer gesagt der Fall, wenn

q_{n}

$q_n$ Es hat nicht die Energieeinheiten, sagen wir

q_{n}

$q_n$ ist Schwung.

ZeroTheHero

OK. Eine Observable ist eine messbare physikalische Größe, die durch einen selbstadjungierten Operator (oder einen POVM) dargestellt wird, der auf den Hilbert-Raum einwirkt und einen vollständigen Satz orthogonaler Eigenzustände aufweist.

Antworten (2)

Bedeutung von ⟨qn|E⟩⟨qn|E⟩\langle q_n | E \rangle wenn EEE Energie ist, aber qnqnq_n nicht

Die Frage ergibt keinen Sinn. Eine Observable ist ein Operator, kein Zustand, geschweige denn im selben Raum wie $\vert E\rangle$ . Höchstwahrscheinlich $\vert q_n\rangle$ bezeichnet einen Eigenzustand von $\hat q_n$ , oder tatsächlich die $n$ 'ter Eigenzustand des Observablen $\hat q$ .
@ZeroTheHero Ich bin verwirrt über die Verwendung des Wortes "beobachtbar". Meinen Sie konkret den Operator oder die physikalische Größe (die theoretisch gemessen werden kann, z. B. Impuls, Energie usw.)? In meiner Frage meinte ich eigentlich die physikalische Größe; genauer gesagt der Fall, wenn $q_n$ Es hat nicht die Energieeinheiten, sagen wir $q_n$ ist Schwung.
OK. Eine Observable ist eine messbare physikalische Größe, die durch einen selbstadjungierten Operator (oder einen POVM) dargestellt wird, der auf den Hilbert-Raum einwirkt und einen vollständigen Satz orthogonaler Eigenzustände aufweist.

Superschnelle Qualle · Answer 1

Seit der $|E\rangle$ s bilden eine Basis, einen beliebigen Vektor $|q_n\rangle$ vielleicht als lineare Kombination von ihnen ausgedrückt.

Dann wäre die Bedeutung des Skalarprodukts die Amplitude des Zustands $q_n$ eine Energie haben $E$ oder umgekehrt.

Nachdem Sie Ihre Bearbeitung gelesen haben, liegt Ihre Verwirrung tatsächlich darin, was ein Zustand ist. In der Quantenmechanik gibt es mit jedem System (Hamiltonian) einen zugehörigen Hilbert-Raum, der alle möglichen Zustände Ihres Systems enthält. Jeder (normalisierte) Vektor $|\psi\rangle$ des Hilbert-Raums entspricht einem möglichen Zustand Ihres Systems.

Wenn Sie nun eine Observable mit einer Operatordarstellung von messen möchten $A$ mit Eigenzuständen $|a_i\rangle$ Ihres Systems, dann:

| ψ ⟩ = \sum_{ich} | A_{ich} ⟩ ⟨ A_{ich} | ψ ⟩

$|\psi\rangle=\sum_i|a_i\rangle\langle a_i|\psi\rangle$

Denn die Eigenzustände bilden eine vollständige Basis. Um also den Zustand mit einer Observablen zu kennzeichnen, drücken wir ihn in der Basis (Eigenzustände) dieser Observablen aus, indem wir den Zustand projizieren.

In Fällen, in denen zwei Beobachtbare pendeln, ist es nun möglich, den Zustand mit den beiden Beobachtbaren gleichzeitig zu kennzeichnen. Zum Beispiel wenn $[H,L]=0$ dann ist es möglich, ausdrückliche Zustände in der Basis von zu finden $|E_n,l\rangle$ . Tatsächlich tun wir dies im Fall des Wasserstoffatoms.

ZeroTheHero · Answer 2

Ich vermute $\langle q_n\vert E\rangle$ könnte ein Tippfehler sein. Erstens ist es kein Erwartungswert: Der Erwartungswert der Observable sollte geschrieben werden $\langle E\vert \hat q\vert E\rangle$ oder $\langle E_n\vert \hat q\vert E_n\rangle$ wenn das System darauf vorbereitet ist $n$ 'th möglicher Wert der Energie. Nun ist die zeitliche Entwicklung eines Energie-Eigenzustands $\vert E(t)\rangle = e^{-iEt/\hbar}\vert E\rangle$ so dass

\begin{aligned} ⟨ Q ⟩ = ⟨ E (T) | \hat{Q} | E (T) ⟩ = e^{ich E T / ℏ} ⟨ E | \hat{Q} | E ⟩ e^{- ich E T / ℏ} = ⟨ E | \hat{Q} | E ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle q\rangle = \langle E(t)\vert \hat q\vert E(t)\rangle = e^{iEt/\hbar}\langle E\vert \hat q\vert E\rangle e^{-iEt/\hbar} = \langle E\vert \hat q\vert E\rangle \end{align}$ ist nicht zeitabhängig. Alternativ in Bezug auf Wellenfunktionen in der Ortsdarstellung:

\begin{aligned} ⟨ Q ⟩ & = \int D X Ψ (X, T)^{*} \hat{Q} Ψ (X, T), \\ = \int D X ψ^{*} (X) e^{ich E T / ℏ} \hat{Q} ψ (X) e^{- ich E T / ℏ}, \\ = \int D X ψ^{*} (X) \hat{Q} ψ (X) \end{aligned}

$\begin{align} \langle q\rangle &=\int dx \Psi(x,t)^* \hat q \Psi(x,t)\, ,\\ &=\int dx \psi^*(x) e^{iEt/\hbar} \hat q \psi(x) e^{-i Et/\hbar} \, ,\\ &= \int dx \psi^*(x) \hat q \psi(x) \end{align}$ auch zeitunabhängig und wo

Ψ (x, t) = ψ (x) e^{- i E t / ℏ}

$\Psi(x,t)=\psi(x) e^{-i Et/\hbar}$ wurde verwendet.

Wenn $\hat q$ eine Observable ist, dann hat sie einen vollständigen Satz von Eigenzuständen (im selben Raum wie der von der Menge aufgespannte Hilbert-Raum). $\{\vert E_i\rangle\}$ des Energieeigenzustands von $\hat H$ ). Bezeichnung durch $\vert q_n\rangle$ Die $n$ 'ter Eigenzustand von $\hat q$ Dann $\langle q_n\vert E\rangle$ ist im Allgemeinen eine komplexe Zahl aber $\vert \langle q_n\vert E\rangle\vert^2$ ist die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert zu erhalten $q_n$ (dh Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $q_n$ ) bei der Messung des Observablen $\hat q$ wenn das System im Zustand vorbereitet ist $\vert E\rangle$ .

Das glaube ich nicht $\langle q_n | E \rangle$ ist ein Tippfehler. Prof. Binney verwendet diesen Ausdruck, um das zu beweisen $\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle q_n | E \rangle = 0$ . Wenn $\langle q_n | E \rangle$ bleibt für alle konstant $n$ , dann ist auch der Erwartungswert konstant, da die Anfangsamplituden gleich bleiben.
aber was ist $n$ ? $\langle q_n\vert E\rangle$ ist in der Regel eine komplexe Amplitude (und damit sicherlich kein Mittelwert), die zeitunabhängig ist, es sei denn, man meint $\langle q_n\vert E(t)\rangle$ das hat ein $e^{-iEt/\hbar}$ Zeitabhängigkeit. Es sei denn $\hat q_n$ Und $\hat H$ pendeln (was ein großer Sprung ist).
$n$ ist irgendein Index. $|E_1\rangle, |E_2\rangle, |E_3\rangle, \ldots, |E_n\rangle, \ldots$ sind Zustände mit wohldefinierten Energien $E_1, E_2, \ldots$ usw. Er stellt fest, dass, wenn sich das System in einem Zustand wohldefinierter Energie befindet, der Erwartungswert jedes zeitunabhängigen Operators zeitunabhängig ist, selbst wenn der Operator nicht mit pendelt $\hat{H}$ . Google-Bücher-Link - Seite Nr. 33
Nun ... abgesehen von der Notation verstehe ich nicht ganz (deine $\vert E\rangle$ hat keinen Index, aber Ihre $q_n$ tut), ist meine obige Antwort richtig.

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