Schwierigkeiten mit Bra-Ket-Notation

Die Formulierung in Ihrem Lehrbuch war schlampig.

$A$fungiert als$A^*$auf einem BH, wie$\langle u\rvert A\lvert v\rangle:=\langle u\lvert Av\rangle~$ist das gleiche wie$\langle u\rvert A\lvert v\rangle=\langle A^*u\lvert v\rangle~$, per Definition des Adjunkten. Das zeigt auch die letztgenannte Formel$\langle A^*u\rvert=\langle u\rvert A$.

In der linearen Algebra wird alles sehr einfach, wenn man ein Ket als Spaltenvektor, das entsprechende Bra als konjugiert transponierten Zeilenvektor, einen Operator als quadratische Matrix und die Adjungierte als konjugierte Transponierte interpretiert. Dies ist in der Tat der Spezialfall beim Hilbertraum$C^n$.

Wirklich eine gute Frage (leider kam Ī zu spät, um wirklich zu helfen). All dieses Zeug macht vollkommen mathematisch Sinn, aber seine Grundlagen liegen in der abstrakten Algebra und werden den Schülern selten erklärt und bleiben daher denen verborgen, denen es an angemessener Vorstellungskraft mangelt.

Um Bra und Ket fest zu verstehen, nicht nur Zeilen mit Spalten zu multiplizieren und sich an ihre Konjugationsregel zu erinnern, reicht es aus, zwei Dinge zu lernen: (bestimmte Teile der) Dualität in der linearen Algebra , einschließlich des Verhaltens linearer Operatoren , und das Dual eines Hilbert-Raums . Ein Versäumnis, einen der beiden Teile zu verstehen, kann bei jedem Versuch, die Bedeutung dieser Symbole zu erkennen, zu einer mentalen Verwüstung führen.

Wir sehen, das Originalplakat weiß, was der duale Vektorraum ist. In diesem Absatz vergessen wir völlig eine Hilbert-Struktur; es gibt nur Vektorräume (über ℂ) und lineare Abbildungen. Wenn A  :  V ₁  →  V ₂ eine lineare Abbildung ist und v  :  V ₂  → ℂ eine lineare Funktion (Element von V ₂ *), dann bildet ihre Zusammensetzung  v  ∘  A V ₁ auf ℂ ab und gehört somit zu V ₁ * . Diese Zusammensetzung definiert für jedes gegebene A  eine lineare Abbildung A ⁠* : V ₂ * → V₁ * das heißt „Transponieren“ von A ; Dieses Ding ist tautologisch und bewahrt die Linearität über ℂ. Während die Wirkung von A auf V ₁  in der Dirac-Notation mit A ∣ u ⟩ bezeichnet wird ,  wird  die Wirkung von A ⁠* auf V ₂ * mit ⟨  v  ∣  A bezeichnet (beachte die Reihenfolge von v und   A in der Komposition). Wir müssen A ⁠* nicht von A unterscheiden , da A immer von links und A ⁠* immer von rechts wirkt.

Nun der zweite Teil: das kontinuierliche Dual${\mathcal H}\text{*}$zu einem Hilbertraum$\mathcal H$ist kanonisch isomorph (dh dasselbe) zu seinem komplexen Konjugat $\overline{\mathcal H}$. Es ist eine mathematische Tatsache. Praktisch deshalb sind Hilbert-Räume so praktisch, und ich muss besser erklären, was in diesem Zusammenhang „komplex konjugiert“ bedeutet. Ein Element ∣  u  ⟩ von$\mathcal H$, sagte ein „Ket-Vektor“, und ein Element ⟨  u  ∣ von$\overline{\mathcal H}$, sagte ein "BH-Vektor", sind identisch. Zwei Räume sind durch Bijektion verbunden, unterscheiden sich also nicht als Mengen. Außerdem haben sie identische Additionsgesetze: ⟨  u  ∣ + ⟨  v  ∣ entspricht ∣  u  ⟩ + ∣  v  ⟩, Multiplikation mit reellen Zahlen r  ∈ ℝ : r  ⟨  u  ∣ entspricht r  ∣  u  ⟩, und auch den gleichen Vektor Norm. Der einzige Unterschied ist die Multiplikation mit komplexen Skalaren c  ∈ ℂ : c  ⟨  u  ∣ entspricht$\overline{c} ∣ u ⟩$, wobei overline komplexe Konjugation bedeutet, nicht zu „ c  ∣  u  ⟩“. Ein reiner Zustand eines Quantensystems kann entweder als ∣  ψ  ⟩ oder ⟨  ψ  ∣ geschrieben werden; Obwohl sie als komplexe Vektoren unterschiedlich sind, stellen sie denselben Zustand dar (beachten Sie, dass die skalare Multiplikation eines Zustandsvektors den Zustand physikalisch nicht ändert). Wir sehen: Bras und Kets unterscheiden sich nicht vom Standpunkt der Physik, der Mengenlehre, der metrischen Geometrie, der Topologie und sogar der echten linearen Algebra. Alle Unterschiede zwischen ihnen sind entgegengesetzte Strukturen der komplexen (skalaren) Multiplikation.

Wir können sehen, wie sich zwei Teile verbinden. Wenn$A: {\mathcal H}_1 → {\mathcal H}_2$, dann$A\text{*}$linear abbildet${\mathcal H}_2\text{*}$zu${\mathcal H}_1\text{*}$und daher$\overline{{\mathcal H}_2}$zu$\overline{{\mathcal H}_1}$, das heißt wir haben eine Abbildung (nicht ℂ-linear a priori ) aus${\mathcal H}_2$zu${\mathcal H}_1$. Es wird mit bezeichnet$A^†$und ist tatsächlich komplex-linear, weil die komplexe Struktur zweimal umgekehrt wird: einmal von${\mathcal H}_2$zu${\mathcal H}_2\text{*} ≅ \overline{{\mathcal H}_2}$, und eine andere von${\mathcal H}_1\text{*} ≅ \overline{{\mathcal H}_1}$zu${\mathcal H}_1$. Oder, in Symbolen, eine Identität

(Beachten Sie, dass in solchen Kontexten irgendwo „*“ für komplexe Konjugationen verwendet wird, anstatt es zu überstreichen, was sicherlich zu einer dicken Atmosphäre der Verwirrung um das Sternchen-Symbol beiträgt.)

Die Operation „†“ wird für abstrakte lineare Operatoren „hermitesch adjungiert“ und für komplexe Matrizen „konjugierte Transponierung“ genannt. Es ist einfach eine Folge der Transposition von Operatoren (aus der linearen Algebra) und der${\mathcal H}\text{*} ≅ \overline{\mathcal H}$Isomorphismus (aus der Theorie der Hilbert-Räume), aber wenn${\mathcal H}_2 = {\mathcal H}_1$, definiert es eine nicht-triviale Involution auf Operatoren auf Hilbert-Räumen. Es ist ein bisschen knifflig, weil der Transponierungsoperator tautologisch ist und das komplexe Konjugieren isoliert unsinnig ist, aber für Hilbert-Räume machen sie zusammen eine wesentliche Operation. Zwei oben erwähnte Teile der Algebra müssen kombiniert werden, um einen anderen Operator aus demselben Operatorraum zu erhalten .

Wenn Sie daran denken$\mid u \rangle$als Spaltenvektoren und von$\langle u \mid$als Zeilenvektoren, dann$A$ist nur ein$n \times n$Matrix (evtl. mit$n = \infty$).

Da kann man sich denken$A \mid u \rangle$als Matrix$A$wirkt auf einen Vektor$u$. Allerdings seit$\langle v \mid$ein Zeilen- und kein Spaltenvektor ist, können Sie (für einen vernünftigen Zeilenvektor) nicht multiplizieren$v$mit$A$von links aber nur von rechts:

Man definiert dann meist$\langle v A \mid$(oder$\langle A v \mid$) als Ergebnis des Handelns auf$v$mit$A$. Nimmt man dann das Skalarprodukt mit$\mid u \rangle$, wir können schreiben:

für irgendeine Matrix$B$so dass$u' = Bu$(von links, da$\mid \rangle$sind Spaltenvektoren). Außerdem stellt man fest, dass die Beziehung zwischen$A$und$B$ist so das

das heißt, die Hermitesche Adjungierte: Diese Art macht Sinn - wenn Sie eine echte Matrix anstelle des üblichen Spaltenvektors auf eine Zeile wirken lassen, müssen Sie ihre Adjungierte nehmen (dh$M_{ij}^T = M_{ji}$) und die Magie der Quantenmechanik fügt einfach das komplexe Konjugierte hinzu$A^\dagger_{ij} = \bar A_{ji}$

Der zweite Punkt ist sehr ähnlich:$( A \mid v \rangle)^\star$beschreibt das duale Element zu$A \mid v \rangle$, was zufällig ist$\langle v A \mid = \langle v \mid A^\dagger$.

In der Regel fügt man aus physikalischer Sicht a hinzu$^\dagger$wenn Sie einen Operator aus einem BH ziehen, um ihn dann auf ein Ket wirken zu lassen. Natürlich (für sensible Betreiber),$(A^\dagger)^\dagger = A$.

Ich möchte nur einen Kommentar abgeben (benötigt 50 Ruf...)

Handeln von „links“ und von „rechts“ hat eigentlich eine genaue Bedeutung, vgl. Gruppenaktion oder Links/Rechts-Module. Beachten Sie, ohne irgendwelche Formeln zu schreiben, dass Sie zwei "Multiplikationen" haben, eine ist eine Zusammensetzung von Operatoren, eine ist die "Aktion". Die Unterscheidung linke/rechte Aktion ergibt sich, wenn Sie zwei Operatoren haben, die auf einen Vektor wirken...