Das Hamiltonsche Eigenwertproblem in den Ortsraum bringen?

Es fällt mir schwer, die Beziehung von notatorisch zu verstehen:

H ^ | ψ ⟩ = E | ψ ⟩
Und
H ^ ψ ( X ) = E ψ ( X )

Hier ist mein Denkprozess: Ausgehend von der Gleichung:

H ^ | ψ ⟩ = E | ψ ⟩
H ^ ∫ D X | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ = E ∫ D X | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩
Wir wissen das
⟨ X | ψ ⟩ = ψ ( X )
in unserer Positionsvertretung. Bedeutet dies das H ^ in Dirac-Notation übersetzt zu H ^ ∫ D X | X ⟩ in der Positionsvertretung? Irgendetwas daran erscheint mir ziemlich seltsam.

Antworten (2)

Es ist besser, es so zu machen. Beginnen Sie mit dem Ausdruck ohne Bezug auf irgendeine Basis

H ^ | ψ ⟩ = E | ψ ⟩

Dann einbringen ⟨ X |

⟨ X | H ^ | ψ ⟩ = ⟨ X | E | ψ ⟩

Sie haben recht ⟨ X | ψ ⟩ = ψ ( X ) , also die rechte Seite mit Skalar E leicht wird E ψ ( X )

Auf der linken Seite nutzen wir unsere Vollständigkeitsrelation aus

⟨ X | H ^ | ψ ⟩ = ∫ ⟨ X | H ^ | X ' ⟩ ⟨ X ' | ψ ⟩ D X ' = ∫ ⟨ X | H ^ | X ' ⟩ ψ ( X ' ) D X '

Seit H ^ = H ^ ( X ^ , P ^ ) , die Matrixelemente von H ^ in der Positionsbasis sind angegeben als

⟨ X | H ^ | X ' ⟩ = δ ( X ' − X ) H ( X ' , D D X ' )

Daher landen wir bei

⟨ X | H ^ | ψ ⟩ = H ψ ( X )

Und das haben wir

H ψ ( X ) = E ψ ( X )

Vielleicht würden Klammern helfen. Letzter Ausdruck ist (H psi)(x)= E psi(x)
@lalala finde ich gut. Am Ende H ist ein Differentialoperator, der auf die Funktion wirkt ψ ( X ) und ist das Formular, nach dem das OP fragt und mit dem es vertraut zu sein scheint.

Beachten Sie, dass formal der Hilbert-Raum in der Ortsdarstellung liegt L 2 ( R N ) , so dass | ψ ⟩ ist in der Tat ein L 2 -Funktion.

Das Hamiltonsche Eigenwertproblem in den Ortsraum bringen?
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