Warum sind Eigenfunktionen, die diskreten/kontinuierlichen Eigenwertspektren entsprechen, garantiert normierbar/nicht normierbar?

Question

Warum sind Eigenfunktionen, die diskreten/kontinuierlichen Eigenwertspektren entsprechen, garantiert normierbar/nicht normierbar?

Sean Allen

Diese Tatsachen werden in einem QM-Text, den ich gelesen habe, als selbstverständlich vorausgesetzt. Die angeblich garantierte Nicht-Normierbarkeit von Eigenfunktionen, die einem kontinuierlichen Eigenwertspektrum entsprechen, wird vom Autor nur teilweise begründet, der lediglich feststellt, dass die Nicht-Normierbarkeit damit zusammenhängt, dass solche Eigenfunktionen im Unendlichen nicht gegen Null gehen.

Keine sehr befriedigende Antwort. Was ich wirklich suche, ist eine Erklärung, die auf der Funktionsanalyse basiert. Ich glaube, dass es ein verallgemeinertes Ergebnis gibt, dass innere Produkte für diskrete Spektren endlich, aber für kontinuierliche Spektren unendlich sind.

Kann jemand etwas Licht ins Dunkel bringen?

QMechaniker

Mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/33668/2451

Antworten (2)

Warum sind Eigenfunktionen, die diskreten/kontinuierlichen Eigenwertspektren entsprechen, garantiert normierbar/nicht normierbar?

Mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/33668/2451

Trimok · Answer 1

Das könnte eine Matheaufgabe sein. Aber wenn Sie über den physikalischen Aspekt der Frage nachdenken, ist es interessant, sich die Schrödinger-Gleichung anzusehen:

Für freie Felder (ohne Potenzial) haben Sie (in Einheiten $\bar h = m = \omega = 1$ ):

ich \frac{\partial Ψ (k, t)}{\partial t} = \frac{k^{2}}{2} Ψ (k, t)

$i\frac{\partial \Psi( k, t)}{\partial t} = \frac{ k^2}{2}\Psi( k, t)$ oder

E \tilde{Ψ} (k, E) = \frac{k^{2}}{2} \tilde{Ψ} (k, E)

$E \tilde \Psi( k, E) = \frac{ k^2}{2} \tilde \Psi( k, E)$

Wessen Lösung ist:

Ψ (k, t) \sim e^{- ich \frac{k^{2}}{2} t}

$\Psi( k, t) \sim e^{- i \frac{ k^2}{2} t}$

oder

\tilde{Ψ} (k, E) \sim δ (E - \frac{k^{2}}{2})

$\tilde \Psi( k, E) \sim \delta \left(E - \frac{ k^2}{2}\right)$

Hier $\tilde \Psi( k, E)$ ist eine Fourier-Transformation von $\Psi( k, t)$ .

Aus der Form der Gleichungen geht hervor, dass es keine Beschränkung gibt $E$ . Es handelt sich um ein kontinuierliches Spektrum, und dies ist eindeutig eine nicht normalisierbare Lösung.

Bei Potentialen sieht es jedoch anders aus, und Sie werden einige Differentialgleichungen haben, zum Beispiel für das Potential des harmonischen Oszillators:

E Ψ (k, E) = \frac{k^{2}}{2} Ψ (k, E) - \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ψ (k, E)}{\partial k^{2}}

$E \Psi( k, E) = \frac{ k^2}{2} \Psi( k, E) - \frac{1}{2}\frac{\partial^2 \Psi( k, E)}{\partial k^2}$

Die Lösung für $\Psi$ beinhaltet eine Hermite-Differentialgleichung (multipliziert mit einer Exponentialfunktion). $e^{-k^2}$ ).

Wenn E kontinuierlich ist, dann ist die Hermite-Lösung (mit einem reellen Index) nicht auf unendlich beschränkt, und daher ist die Lösung nicht normalisierbar.

Wenn wir eine normalisierbare Lösung wollen, dann brauchen wir eine (positive) ganzzahlige indizierte Lösung $H_n$ , dessen Name Hermite-Polynome ist. In diesem Fall ist das Spektrum von $E$ ist diskret.

Die Wahl der $E$ diskret (und damit eine normierbare Lösung) ist dann eine physikalische Wahl. Im Fall des harmonischen Oszillators ist es unphysikalisch anzunehmen, dass die Lösung nicht unendlich begrenzt ist.

Der Fall der Hermite-Polynome ist ein Spezialfall orthogonaler Polynome, der sich sehr gut zur Darstellung von orthonormalen Zuständen eignet, die diskreten Eigenwerten des hermiteschen Operators Energie entsprechen.

Dies hat sich in einem anderen Zusammenhang ergeben . Während alles, was Sie sagen, richtig ist, haben Sie den üblichen nächsten Schritt für das ungebundene System ignoriert, der darin besteht, normierbare Wellenpaketlösungen aus den nicht normierbaren asymptotischen Lösungen zu bilden.

Mike Stein · Answer 2

Die Frage ist wirklich eine der Definition. In der mathematischen Literatur über selbstadjungierte Operatoren ist das "diskrete Spektrum" per Definition der Teil des Spektrums, der aus normalisierbaren Zuständen besteht, während das "kontinuierliche Spektrum" der Teil ist, in dem sie nicht normalisierbar sind. Es ist möglich, ein physikalisches System zu haben (z. B. ein zufälliges Potential auf der gesamten reellen Linie), in dem alle Zustände lokalisiert (und daher normalisierbar) sind, die Eigenenergien jedoch eine kontinuierliche Menge bilden. Das physikalische Beispiel, wo nur isolierte Energieniveaus "diskret" sind, gilt nur für einfache Modelle.

Nein, die diskreten und die kontinuierlichen Spektren sind per Definition keine solchen. Sie werden als Menge von Punkten definiert und danach können Sie im Prinzip überprüfen, ob ihre Eigenzustände normierbar sind oder nicht.
Mein schlechtes ... Ich neige dazu, "diskretes Spektrum" als Synonym für "Punktspektrum" zu verwenden, bei dem es sich um die Menge der Eigenzustände handelt, die Elemente des Hilbert-Raums sind. Wie auch immer, ein guter Ort, um nach dem Link Physik <-> Mathematik zu suchen, ist en.wikipedia.org/wiki/…
Ich sehe, dass ich nicht allein bin, wenn ich "diskretes Spektrum" mit "Punktspektrum" identifiziere: en.wikipedia.org/wiki/Discrete_spectrum

Warum sind Eigenfunktionen, die diskreten/kontinuierlichen Eigenwertspektren entsprechen, garantiert normierbar/nicht normierbar?

Sean Allen

QMechaniker

Antworten (2)

Trimok

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Mike Stein

geniert

Mike Stein

Mike Stein

Wenn wir von diskreten (aber unendlichen) Eigenzuständen auf kontinuierliche Eigenzustände verallgemeinern, warum ändern wir die Definition?

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