Warum ist die Existenz der inneren Produkte der Eigenfunktionen eines Operators mit diskretem Eigenwertspektrum garantiert?

Ich las ein Lehrbuch durch, und es wurde die Aussage getroffen, dass die inneren Produkte garantiert existieren, wenn das Eigenwertspektrum des Operators diskret ist. Ich habe keine Unterstützung für diese Behauptung gefunden, und die Grundlage für diese Behauptung war nach einer ziemlich langen Bedenkzeit meinerseits nicht sofort ersichtlich. Außerdem wurde ich beim Versuch, die Antwort abzuleiten, zur Ergänzung meiner ersten Frage geführt: Warum führt ein kontinuierliches Eigenwertspektrum eines Operators zu nicht normalisierbaren Eigenfunktionen (dh die inneren Produkte existieren nicht)?

Antworten (4)

Das Spektrum eines beschränkten linearen Operators EIN ist per Definition die Menge der Zahlen λ wo EIN − λ ist nicht invertierbar. Im endlichdimensionalen Fall bedeutet dies EIN − λ ist weder injektiv noch surjektiv, und die erstere Aussage ist nur eine ausgefallene Art zu sagen, dass es einen Eigenvektor gibt; Da dieser Eigenvektor per Definition ein Teil des Hilbert-Raums ist, ist er insbesondere normierbar.

Im unendlichdimensionalen Fall sind Injektiv und Surjektiv jedoch nicht mehr äquivalent und das Spektrum zerfällt in das Punktspektrum, das kontinuierliche Spektrum und das Restspektrum.

Das Punktspektrum ist der Teil des Spektrums, in dem die Karte nicht injektiv ist (es ist möglicherweise nicht schwer zu beweisen, dass sie tatsächlich diskret ist - zu faul, um sie jetzt zu untersuchen). Das Restspektrum ist für normale Operatoren (und damit insbesondere für selbstadjungierte Operatoren) leer, was das kontinuierliche Spektrum verlässt, in dem die Abbildung injektiv ist (und daher keine Eigenvektoren vorhanden sind), aber nicht surjektiv. Das Konzept des Eigenvektors macht für das kontinuierliche Spektrum in diesem Formalismus einfach keinen Sinn.

Verwirrt (oder, je nach Sichtweise, unverwirrt) wird die Situation im Formalismus der manipulierten Hilbert-Räume, die der richtige Rahmen für die Behandlung unbeschränkter Operatoren sind: Manipulierte Hilbert-Räume erlauben uns, ‚Eigenvektoren‘ einzuführen, die Aren sind nicht Teil unseres Hilbert-Raums. Insbesondere im Fall des Hilbert-Raums L 2 , sie können nicht normierbare Funktionen (zB ebene Wellen) oder gar keine Funktionen (zB Delta-Verteilungen) sein.

Eine vollständige Erklärung finden Sie in einem Buch zur Funktionsanalyse.

Aber für diskrete Punkte des Spektrums kann man den Projektionsoperator explizit auf den entsprechenden Eigenraum schreiben:

Die Auflösung des Operators hat Pole an den diskreten Punkten des Spektrums und das Residuum eines solchen Pols ist der Projektionsoperator auf den entsprechenden Eigenraum, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Resolvent_formalism .

@Christoph hat dies auch in seinem Beitrag festgehalten, und das möchte ich anerkennen. All diese Antworten haben mir geholfen zu erkennen, dass die Frage, die ich gestellt habe, keine einfache Antwort hat, wie der Autor des Lehrbuchs, das ich gerade las, implizierte; Außerdem denke ich, dass ein vollständiges Verständnis meinerseits noch einige Jahre Mathematikstudium erfordern wird. Danke an alle.
Kommentar zur Antwort (v1): Die meisten mathematischen Bücher über Funktionsanalyse würden (beschränkte und unbeschränkte) Operatoren einfach so behandeln, als ob sie auf einem (Standard-)Hilbert-Raum leben (wo das Skalarprodukt per Definition existiert). Die Titelfrage von OP (v1) wird nur dann nicht trivial, wenn man über den Rahmen der Standard- Hilbert-Räume hinausgeht , zB im Kontext manipulierter Hilbert-Räume.
@Qmechanics: Frage (v1) ist auch für Standard-Hilbert-Räume nicht trivial, da nicht jeder Wert des Spektrums ein Eigenwert ist. Man muss also beweisen, dass einzelne Punkte des Spektrums tatsächlich Eigenwerte sind.
Die Titelfrage (v1) betrifft nur das Eigenwertspektrum (= Punktspektrum), nicht das volle Spektrum.
@BielsNohr Ich finde, dein Kommentar an Christoph beschreibt einen sehr weisen Ansatz. Ich finde viele Dinge in der Physik ähnlich: Es werden Schlussfolgerungen gezogen, ohne Beweise, die der Prüfung eines Mathematikers standhalten würden. Oft wird implizit ein "physikalisch vernünftiges Postulat" aufgestellt: Hier gehen wir implizit davon aus, dass es physikalisch vernünftig ist, unsere Theorie auf Observablen zu beschränken, deren Eigenfunktionen innere Produkte haben, die sich so gut verhalten, wie Sie es beschreiben. Ich wünschte, mehr Autoren wären etwas offener in Bezug auf ihre Annahmen – es ist nichts falsch daran, sie zu machen: Es ist schließlich Physik.

Hier ist eine teilweise Antwort auf die Frage (v1). OP müsste mathematisch genauere Angaben und Annahmen machen, um zu gewährleisten, dass ein Eigenvektor (für einen Operator H mit diskretem Spektrum) hat endliche Norm, ist also normierbar. Zum Beispiel im Rahmen manipulierter Hilberträume .

Gegenbeispiel: Domäne D := C ∞ ( R ) = unendlich oft differenzierbare komplexwertige Funktionen auf der reellen Geraden R . Norm:

| | f | | 2   :=   ∫ R d x   | f ( x ) | 2   .

Lassen Sie den Betreiber H := 0 der Nulloperator zu sein, der alle Funktionen übernimmt f zur Nullfunktion 0 . (Lassen Sie uns erwähnen, dass das Paar ( H , D ) kann modifiziert werden, um ein selbstadjungierter Operator zu werden , aber überspringen Sie die Details hier.) Das Spektrum ist diskret

s p e c ( H ) = { 0 } .

Jede Funktion f ∈ D ∖ { 0 } ist eine Eigenfunktion für H mit Eigenwert 0 , aber die Norm | | f | | 2 ist nicht unbedingt endlich.

Dies ist nicht im Sinne der Frage, auch ist keine Modifikation erforderlich. H ist bereits trivial selbstadjungiert. Es ist nicht sinnvoll, dieses Spektrum diskret zu nennen, da es diskret mit einer kontinuierlichen Unendlichkeit der Entartung ist und das OP eindeutig nach einem diskreten Punktspektrum fragt.
Antwort auf Kommentare: 1. Nach meiner Lektüre der Frage von OP (v1) spricht diese Antwort den Geist der Frage von OP an, nämlich ob es möglich ist oder nicht, einige physikalische Überlieferungen, die OP gelesen hat, mathematisch zu rechtfertigen oder nicht. 2. Die Details zur Selbstadjungiertheit wurden der Kürze halber übersprungen, da der Definitionsbereich des adjungierten Operators nicht spezifiziert wurde. 3. Ein Operator mit diskretem Spektrum darf per Definition unendlichdimensionale Eigenräume haben.
Für 1 ist es möglich , diese "Überlieferung" zu rechtfertigen (es ist wahrscheinlich ein Theorem, keine "Überlieferung"). Für 2 gibt es keine Details! Der Nulloperator ist immer selbstadjungiert, wie alle Vielfachen der Identität in jedem Bereich. Sich zu weigern, dies zu sagen, ist ignorante Angstmacherei - die (trivialen und unwichtigen) Probleme der Selbstadjungiertheit zeigen sich für Operatoren mit Ableitungen in Fällen, in denen die Randbedingungen keine partielle Integration zulassen. 3. Ein Operator mit diskretem Spektrum in diesem Problem darf dies wegen dieses trivialen Beispiels offensichtlich nicht.
1. Die Aussage von OP wird nur dann zu einem Theorem, wenn er die entsprechenden Annahmen spezifiziert. 2. Technisch, wenn die Domain D ( H † ) dem adjungierten Operator zugeordnet H † unterscheidet sich von der Domäne D ( H ) von H , dann H ist nicht selbstadjungiert (im mathematischen Sinne des Wortes).
1. Sie sollen die vernünftigen Annahmen (falls vorhanden) finden, die den Satz wahr machen, in diesem Fall, dass das Spektrum keine kontinuierliche Entartung aufweist. 2. Ich kenne den "mathematischen Sinn" von selbstadjungiert (es gibt keinen anderen Sinn), und in der Quantenmechanik werden die Domänen immer durch die Tatsache identifiziert, dass es sich um einen Hilbert-Raum handelt, also existiert diese Komplikation nicht, sie ist es nur eine alte Mathematiker-Einschüchterungstaktik, die nicht mehr funktioniert, weil jeder auf Wikipedia selbstadjungiert nachschlagen kann.
1. In der üblichen Definition ist ein Spektrum die Menge der Eigenwerte, dh ein Spektrum hängt nicht davon ab, ob die Eigenwerte entartet sind oder nicht. 2. Ein Definitionsbereich eines Operators ist nicht notwendigerweise ein Hilbert-Raum. Wenn außerdem ein Skalarprodukt verfügbar ist (wie es per Definition ein Hilbert-Raum ist), dann wird die Titelfrage (v1) zu einer Trivialität.
@Qmechanics: Zu "In der üblichen Definition ist ein Spektrum die Menge der Eigenwerte": Nein, das Spektrum eines Operators A ist die Menge der Werte λ so dass λ - A ist nicht bijektiv.
@jjcale: Ja, du hast recht. Ich habe eher die Definition eines Punktspektrums als eines Spektrums angegeben und hätte dies auch sagen sollen.

Die komplementäre Frage ist hier die eigentliche Frage. Wenn Sie einen kontinuierlichen Satz von Vektoren haben, könnte es eine Diskontinuität geben, in diesem Fall würde das Skalarprodukt davon abhängen, wie Sie sich der Diskontinuität nähern. In diesem Fall können wir sagen, dass das innere Produkt nicht existiert. Dies ist kein Problem mit einem diskreten Satz von Vektoren.

Mir ist die Sache immer noch nicht ganz klar, und ich glaube, Sie haben meine Frage einfach verschoben (ich schätze, ich suche nach etwas Grundlegenderem als dem, was Sie mir gegeben haben). Sie sagten, es "könnte" eine Diskontinuität geben ... aber was garantiert dies (oder ist es eine Garantie)? Hat der Hilbert-Raum inhärente Diskontinuitäten, wenn Sie auf die kontinuierliche Ebene gehen? (Entschuldigen Sie meine mögliche falsche Verwendung der Terminologie Mathematik ist nicht meine Stärke).
Warum ist die Existenz der inneren Produkte der Eigenfunktionen eines Operators mit diskretem Eigenwertspektrum garantiert?
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