Diese Tatsachen werden in einem QM-Text, den ich gelesen habe, als selbstverständlich vorausgesetzt. Die angeblich garantierte Nicht-Normierbarkeit von Eigenfunktionen, die einem kontinuierlichen Eigenwertspektrum entsprechen, wird vom Autor nur teilweise begründet, der lediglich feststellt, dass die Nicht-Normierbarkeit damit zusammenhängt, dass solche Eigenfunktionen im Unendlichen nicht gegen Null gehen.
Keine sehr befriedigende Antwort. Was ich wirklich suche, ist eine Erklärung, die auf der Funktionsanalyse basiert. Ich glaube, dass es ein verallgemeinertes Ergebnis gibt, dass innere Produkte für diskrete Spektren endlich, aber für kontinuierliche Spektren unendlich sind.
Kann jemand etwas Licht ins Dunkel bringen?
Das könnte eine Matheaufgabe sein. Aber wenn Sie über den physikalischen Aspekt der Frage nachdenken, ist es interessant, sich die Schrödinger-Gleichung anzusehen:
Für freie Felder (ohne Potenzial) haben Sie (in Einheiten ):
Wessen Lösung ist:
oder
Hier ist eine Fourier-Transformation von .
Aus der Form der Gleichungen geht hervor, dass es keine Beschränkung gibt . Es handelt sich um ein kontinuierliches Spektrum, und dies ist eindeutig eine nicht normalisierbare Lösung.
Bei Potentialen sieht es jedoch anders aus, und Sie werden einige Differentialgleichungen haben, zum Beispiel für das Potential des harmonischen Oszillators:
Die Lösung für beinhaltet eine Hermite-Differentialgleichung (multipliziert mit einer Exponentialfunktion). ).
Wenn E kontinuierlich ist, dann ist die Hermite-Lösung (mit einem reellen Index) nicht auf unendlich beschränkt, und daher ist die Lösung nicht normalisierbar.
Wenn wir eine normalisierbare Lösung wollen, dann brauchen wir eine (positive) ganzzahlige indizierte Lösung , dessen Name Hermite-Polynome ist. In diesem Fall ist das Spektrum von ist diskret.
Die Wahl der diskret (und damit eine normierbare Lösung) ist dann eine physikalische Wahl. Im Fall des harmonischen Oszillators ist es unphysikalisch anzunehmen, dass die Lösung nicht unendlich begrenzt ist.
Der Fall der Hermite-Polynome ist ein Spezialfall orthogonaler Polynome, der sich sehr gut zur Darstellung von orthonormalen Zuständen eignet, die diskreten Eigenwerten des hermiteschen Operators Energie entsprechen.
Die Frage ist wirklich eine der Definition. In der mathematischen Literatur über selbstadjungierte Operatoren ist das "diskrete Spektrum" per Definition der Teil des Spektrums, der aus normalisierbaren Zuständen besteht, während das "kontinuierliche Spektrum" der Teil ist, in dem sie nicht normalisierbar sind. Es ist möglich, ein physikalisches System zu haben (z. B. ein zufälliges Potential auf der gesamten reellen Linie), in dem alle Zustände lokalisiert (und daher normalisierbar) sind, die Eigenenergien jedoch eine kontinuierliche Menge bilden. Das physikalische Beispiel, wo nur isolierte Energieniveaus "diskret" sind, gilt nur für einfache Modelle.
QMechaniker