Ansatz zum Ausdrücken von |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| als Polynom bei entarteten Eigenwerten?

Wenn | N ⟩ sind Eigenvektoren eines Operators A Dann | N ⟩ ⟨ N | kann durch ein Polynom endlicher Ordnung ausgedrückt werden

| N ⟩ ⟨ N | = ∏ M ≠ N A − A M A N − A M

wenn die Eigenwerte A N von A sind verschieden. Ich suche nach einer Möglichkeit, etwas Ähnliches zu tun, aber mit degenerierten Eigenwerten.

Meine Schwierigkeit besteht darin, dass die Herleitung dieser Beziehung von der Betrachtung des Produkts ausgeht ∏ M ≠ N ( A − A M ) ICH und verwendet dann die Beziehung ICH = ∑ k | k ⟩ ⟨ k | um zum obigen Ergebnis zu gelangen. Beginnend mit dem Produkt ohne die N = M Der Begriff ist etwas umständlich, da er es mir nicht erlaubt, auf einen Fall zu verallgemeinern, in dem zwei Eigenwerte gleich sind.

Kann ich für den Fall mit entarteten Eigenwerten zusätzliche Terme aus dem Produkt ausschließen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten? Ich suche nur nach einem Hinweis, wie ich das angehen soll, nicht nach einer ausgearbeiteten Lösung.

Ist das nicht eher eine rationale Funktion als ein Polynom?

Antworten (1)

Hinweise:

  1. Annehmen, dass H ist ein komplexer Hilbertraum.

  2. Annehmen, dass A : H → H ist ein normaler Operator 1 . Dann sagt das eine Version des Spektralsatzes A ist orthonormal diagonalisierbar.

  3. Lassen ( λ ich ) ich ∈ ICH die Menge der verschiedenen Eigenwerte von bezeichnen A mit entsprechenden Multiplizitäten ( M ich ) ich ∈ ICH .

  4. Lassen P ich sei der orthogonale Projektionsoperator auf den Eigenraum Ker ⁡ ( A − λ ich 1 ) ⊆ H .

  5. Dann lautet die Verallgemeinerung der Formel von OP

    P ich   =   ∏ J ∈ ICH ∖ { ich } A − λ J λ ich − λ J .

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1 Wir werden Feinheiten mit unbegrenzten Operatoren , Domänen, selbstadjungierten Erweiterungen usw. in dieser Antwort ignorieren.

Kurz gesagt bezeichnet es den Eigenraum für den Eigenwert λ ich . Entsprechend ist es der Kern für den Operator A − λ ich 1 .
und OPs Formel?
OP := Originalplakat. In diesem Fall: Sie.
Wenn ich zum Beispiel \lambda_2=\lambda_3 und i=1..3 hätte, dann würde ich mit i=1,2 multiplizieren?
Die Karte ICH ∋ ich ↦ λ ich ∈ C soll in meiner Terminologie implizit injektiv sein.
Ansatz zum Ausdrücken von |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| als Polynom bei entarteten Eigenwerten?
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