Resolver-Operator im QM

Question

Resolver-Operator im QM

Benutzer158962

In einer Vorlesung hat der Tutor das erwähnt

"wenn das diskrete Energiespektrum kontinuierlich wird und die Pole des Resolventen zu einer durchgehenden Linie zusammenschrumpfen. Daher wird es zu einem Astschnitt".

Das ist mir nicht klar. Ich verstehe, dass die Pole der Resolvente die Energieeigenwerte sind, aber wie kommt es, dass die Singularität im kontinuierlichen Fall zu einem Verzweigungspunkt wird? Es wäre toll, wenn mir das jemand klar machen könnte.

Benutzer154997

Mit Resolvent meinen Sie für einen Hamiltonian

H

$H$ und einer seiner Eigenwerte

E

$E$ , der Betreiber

(H - E 1)^{- 1}

$(H-E\mathbb{1})^{-1}$ , nicht wahr?

A B C D

Ja, der Resolvent ist

(H - E 𝟙)^{-} 1

$(H−E𝟙)^−1$

Antworten (1)

Resolver-Operator im QM

Mit Resolvent meinen Sie für einen Hamiltonian $H$ und einer seiner Eigenwerte $E$ , der Betreiber $(H-E\mathbb{1})^{-1}$ , nicht wahr?

Ruben Verresen · Answer 1

Wie von Ron Maimon in dieser Antwort schön erklärt , kann man sich einen Astschnitt als eine durchgehende Reihe von Polen mit jeweils einem infinitesimalen Rest vorstellen . Wenn ich ihn zum Beispiel zitiere,

\int_{A}^{B} \frac{1}{z - u} D u = Protokoll (\frac{z - A}{z - B})

$\int_a^b \frac{1}{z-u} \mathrm du= \log \left( \frac{z-a}{z-b} \right)$ wobei letzteres tatsächlich einen Ast dazwischen hat

z = a

$z =a$ Und

z = b

$z=b$ .

Zum Beispiel wenn $b= - a$ , sieht die mehrwertige Funktion auf der rechten Seite aus

(Bild mit freundlicher Genehmigung von MIT OpenCourseWare )

Vielen Dank. Was ist die physikalische Bedeutung davon? Bedeutet dies auch, dass jede komplexe Funktion mit einem Zweigschnitt mit Polen angenähert werden kann? Wenn ich zum Beispiel eine Quadratwurzelfunktion habe, die eine Zweigschnitt-Singularität hat, kann man sich das als "durchgehende Linie von Polen mit jeweils einem infinitesimalen Rest" vorstellen. Bitte deutlich machen.
(1) Nun, was meinen Sie mit „physikalischer Bedeutung“? Man kann sich immer noch eine durchgehende Reihe von Polen vorstellen, aber aufgrund der unzählbaren Anzahl von Zuständen muss man die Normierung entsprechend ändern. Welche „physikalische Bedeutung“ Sie einem einzelnen Pol also zuweisen, ist hier immer noch relevant. (2) Das ist eine gute Frage. Wenn Sie sich Ron Maimons Antwort ansehen, erklärt er tatsächlich, wie man die Quadratwurzelfunktion auf diese Weise umschreiben kann :) Ich habe keinen Beweis, dass man dies für jede Funktion mit einem Zweigschnitt tun kann, aber es scheint plausibel.

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Benutzer158962

Benutzer154997

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Antworten (1)

Ruben Verresen

Benutzer158962

Ruben Verresen

Wenn wir von diskreten (aber unendlichen) Eigenzuständen auf kontinuierliche Eigenzustände verallgemeinern, warum ändern wir die Definition?

Abschlussbeziehung für entartete Eigenkets

Eigenwerte der unendlichen Dimensionsmatrix [Duplikat]

Hat der hermitesche Operator H=−d2dx2H=−d2dx2H=-\frac{d^2}{dx^2} imaginäre Eigenwerte?

Warum ist die Existenz der inneren Produkte der Eigenfunktionen eines Operators mit diskretem Eigenwertspektrum garantiert?

Warum sind Eigenfunktionen, die diskreten/kontinuierlichen Eigenwertspektren entsprechen, garantiert normierbar/nicht normierbar?

Kann eine normierbare Funktion immer in das diskrete Wasserstoffspektrum zerlegt werden?

Konstruktion einer Differentialgleichung aus einem beliebigen Hamiltonoperator

Ansatz zum Ausdrücken von |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| als Polynom bei entarteten Eigenwerten?

Eigenvektoren von pxpxp_x in einem bestimmten Bereich