Konstruktion einer Differentialgleichung aus einem beliebigen Hamiltonoperator

Angenommen, ich beginne mit der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung

( − 1 2 M ∂ X 2 + v ( X ) ) ψ N ( X ) = E N ψ N ( X ) ,
normalerweise spezifizieren wir die Funktion v und dann nach einem Satz von Eigenfunktionen und Eigenwerten auflösen. Und nur um etwas allgemeiner zu sein, machen wir dasselbe mit Sturm-Liouville-Gleichungen, die ich in Bezug auf den Impulsoperator und eine zusätzliche Funktion schreiben werde U ,
( P ^ U ( X ^ ) P ^ + v ( X ^ ) ) ψ N = E N ψ N .

Nun hindert uns nichts daran, einen neuen Hamilton-Operator mit denselben Eigenvektoren, aber unterschiedlichen willkürlichen Eigenwerten zu definieren λ N ,

H ^ ψ N = λ N ψ N
Unter welchen Bedingungen kann diese Eigenwertgleichung für den neuen Hamilton-Operator als (nicht notwendigerweise zweiter Ordnung) Differentialgleichung in dargestellt werden X mit gleichen Eigenfunktionen? Mit anderen Worten, wann tut H ^ gehören zum Operator Algebra generiert von X ^ Und P ^ ?

Ich sehe, ob ich die neuen Eigenwerte durch einige definiere N -unabhängige Funktion F der ursprünglichen Eigenwerte λ N = F ( E N ) , kann ich mir eine neue Differentialgleichung ausdenken, aber sind damit die Möglichkeiten erschöpft?

Antworten (1)

Nachdem wir darüber nachgedacht haben, sollte es möglich sein, den neuen Hamilton-Operator durch eine Differentialgleichung beliebig hoher Ordnung darstellen zu lassen, solange die ursprünglichen Eigenwerte nicht entartet sind. Der Schlüssel ist, dass die Projektionsoperatoren P N auf die Eigenfunktionen existieren in der vom ursprünglichen Hamilton-Operator erzeugten Algebra H 0 ^ .

Angenommen, der n-te Eigenwert ist E N = 2 , und es gibt keine anderen Eigenwerte zwischen 3 und 1. Dann können wir eine Indikatorfunktion wählen F N ( X ) so dass F N ( 2 ) = 1 Aber F N ( X ) = 0 Wenn X kleiner als 1 oder größer als 3 ist. Bei ausreichender Stetigkeit gilt das Stone-Weierstraß-Theorem und wir können es darstellen F auf Polynombasis

F N ( X ) = ∑ k C N , k X k .
Dann der Betreiber
P N ≡ F N ( H ^ ) = ∑ k C N , k H 0 ^ k
wird auf die Eigenfunktion mit dem Eigenwert 2 projiziert. Die Details, dass dies funktioniert, obwohl wir es mit unendlichen Summen zu tun haben, kommen in den Beweisen der Gelfand-Dualität .

Da werden die Projektoren in der Algebra durch generiert H ^ 0 , der willkürliche Hamiltonoperator H ^ ist auch in der Algebra

H = ∑ N λ N P N = ∑ N , k λ N C N , k H 0 ^ k ,

und da der ursprüngliche Hamilton-Operator in Bezug auf Funktionen von erweitert werden kann ∂ X Und X , der Hamiltonian H ^ auch kann, obwohl nun im Allgemeinen die Differentialgleichung von beliebig hoher Ordnung sein wird.

Tipp: \hat{H}_0sieht viel besser aus als \hat{H_0}( H ^ 0 vs H 0 ^ ).
Beachten Sie, dass Stone-Weierstraß nicht angewendet werden muss. (a) es gilt nur auf einem kompakten Gebiet, und (b) es liefert gleichmäßig gute Polynomnäherungen, aber es sind immer noch nur Näherungen, die (c) nicht konvergieren müssen, und selbst wenn sie es tun, (d) nicht polynomial bleiben müssen.
Sehr naiv, wenn man einen findet F so dass λ N = F ( E N ) , dann kannst du einfach nehmen F ( H ^ 0 ) . Sie können eine polynomische Interpolation durchführen, um eine polynomische Annäherung zu finden F .
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