Kann eine normierbare Funktion *immer* in das diskrete Wasserstoffspektrum zerlegt werden?

Diese Frage beschäftigt mich schon länger: Kann man eine beliebige (normalisierbare) Funktion rekonstruieren? ϕ ( r ) in R 3 , mit nur dem ( diskreten ) Satz von Wasserstoffwellenfunktionen (oder zB Eigenfunktionen des 3D Harmonic Oszillators), oder muss man auch die freien Zustände einbeziehen? Es gibt viele Quellen (Griffiths, andere), die darauf hindeuten, dass dies eine „vollständige“ Basis ist, aus der wir jede nicht-pathologische Funktion konstruieren können.

Doch wie können sie, wenn sie vollständig sind, orthogonal zu freien Zuständen sein? Ich möchte anmerken, dass an anderer Stelle in Physics SE, hier und hier , sehr ähnliche Fragen gestellt werden : Eine fragt, ob Kontinuumszustände in die Störungsexpansion einbezogen werden müssen (obwohl dies fast immer weggelassen wird!), Eine andere schlägt vor, dass freie Zustände eine „orthogonale Ergänzung“ sind “ (irgendwo in den Kommentaren), aber es scheint keinen Konsens zu geben. Eine Klarstellung wäre wünschenswert.

„ Doch wenn sie vollständig sind, wie können sie dann orthogonal zu freien Zuständen sein? “, denn freie Zustände sind pathologisch.
Können Sie nicht freie Zustände konstruieren, die normalisierbare Wellenpakete sind?
Ich würde Sie ermutigen, auf die von Ihnen zitierten Beispiele zu verlinken (hauptsächlich, weil diese Frage dort erscheinen würde Linked). Gute Frage.
Eng verwandt: physical.stackexchange.com/q/44839/50583 ; Auch von Nutzen, weil es beschreibt, wie man normalisierbare Streuzustände erhält: physical.stackexchange.com/q/90101/50583
@EmilioPisanty ja, ich versuche sie zu finden. ACuriousMind hat bereits einen gefunden, ich werde der Frage einen Link hinzufügen.
Das "es scheint keinen Konsens zu geben" könnte daran liegen, dass bei einem der Links, die ich jetzt gelöscht habe, eine falsche Antwort von mir kam. Wenn ja, tut es mir leid.
@ ACuriousMind danke dafür. Es scheint, dass Sie diesen Boden bereits betreten haben - möchten Sie antworten?
Ich denke, ein notwendiges Konzept in dieser Diskussion ist das des manipulierten Hilbert-Raums . Ich habe nicht die mathematische Ausbildung, um selbst eine Antwort zu wagen, aber Sie können sich Antworten wie diese ansehen: physical.stackexchange.com/questions/43515/… ? und vielleicht einige der formalen mathematischen Hintergründe zu diesem Thema verstehen.

Antworten (2)

Zur Titelfrage: nein, man kann an nicht immer zerlegen L 2 Funktion nur in Bezug auf das gebundene Spektrum von Wasserstoff.

Denn es gibt orthogonale Funktionen zu allen gebundenen Zuständen, die natürlicherweise die freien Zustände des Elektrons darstellen. Die schnellsten Beispiele sind natürlich die Coulomb-Wellen-Eigenfunktionen | χ E , l , m ⟩ des kontinuierlichen Spektrums von Wasserstoff, und diese sind nicht normalisierbar, aber Sie können Kombinationen der Form annehmen

| ψ ⟩ = ∑ l , m ∫ f l m ( E ) | χ E , l , m ⟩ d E
die hineinfallen L 2 , und die orthogonal zu allen gebundenen Zuständen seit den Coulomb-Wellen sind | χ E , l , m ⟩ sind orthogonal zu den gebundenen Zuständen (da sie Eigenfunktionen desselben Opretaor mit unterschiedlichen Eigenwerten sind.

Dies wird in dieser Antwort von Arnold Neumaier und in dieser Frage weiter verdeutlicht ; Eine frühere Antwort auf diese Frage besagt, dass die kontinuierlichen Coulomb-Wellen formal kein Teil des Hilbert-Raums sind, aber das bedeutet nicht, dass ihre informelle "Spanne" dies nicht ist.

Für weitere Informationen zu diesen Dingen (einschließlich formaler Beweise für Orthogonalität und (Nicht-) Vollständigkeit usw.) mag ich die Vorlesungen von LD Faddeev und OA Yakubovskii über Quantenmechanik für Mathematikstudenten und LA Takhtajans Quantum mechanics for Mathematicians (mit einer Hutspitze an Anatoly Kochubei hier für die Referenzen).

Wenn Sie ein konkretes Beispiel für etwas wünschen, das außerhalb der Spanne des gebundenen Spektrums liegt, nehmen Sie einfach ein Gaußsches Wellenpaket, das schnell genug geht.

(1) ψ ( r ) = ( 2 π σ 2 ) 3 / 2 exp ⁡ ( − ( r − r 0 ) 2 2 σ 2 + ich k z ) ,
projizieren Sie die gebundenen Zustandskomponenten und normalisieren Sie - aus physikalischen Erwägungen muss ein Rest ungleich Null übrig bleiben.

Wie in Ruslans Kommentar erwähnt, ist die Wellenfunktion in ( 1 ) muss eine Stütze ungleich Null außerhalb der Mannigfaltigkeit des gebundenen Zustands enthalten, da jede Kombination der Form ∑ n , l , m a n , l , m | n , l , m ⟩ wird immer einen negativen Erwartungswert der Energie haben, während der Zustand in ( 1 ) wird positive erwartete Energie haben, wann immer k und 1 / σ groß genug sind. Das läuft auf eine Routineberechnung hinaus, also werde ich sie hier nicht durchführen, aber der Kern ist aus physikalischen Überlegungen offensichtlich, und wenn Sie sich wirklich darum kümmern, ist es ein Routineverfahren, es in eine strenge Argumentation einzubauen.

Auf jeden Fall bin ich mir nicht sicher, wie diese Antwort unklar war, aber um ganz klar zu sein:

  • Die Eigenzustände des Coulomb-Wellen-Kontinuums des Hamilton-Operators sind orthogonal zu den gebundenen Zuständen. (Die Eigenzustände selbst sind nicht in L 2 , durch das übliche Rigamarol im nicht normalisierbaren Zustand, aber lineare Kombinationen davon können sein, und sie bleiben orthogonal zu den gebundenen Zuständen.)

  • Die gebundenen Zustände des Wasserstoff-Hamiltonian sind keine vollständige Grundlage für L 2 ( R 3 ) .

Ihre Frage enthält keine spezifischen Beispiele für Quellen, die etwas anderes behaupten, daher ist es unmöglich, weiter darauf einzugehen, warum Sie den falschen Eindruck gewonnen haben, dass es zu keinem der beiden oben genannten Punkte einen Konsens gibt.

Danke für die Antwort. Gilt das auch für echte Wellenfunktionen? Ich dachte, dies wäre äquivalent zu einer Gaußschen Wellenfunktion durch lokale Eichtransformation exp (if (r)) ...
Offensichtlich so. Wenn R e ( ψ ( r ) ) und ich m ( ψ ( r ) ) in der Spannweite der gebundenen Staaten waren, dann würde es auch so sein ψ .
Können Sie mathematisch zeigen, dass Ihr Beispiel einen Rest ungleich Null hat? Es ist mir nicht klar, dass Sie zB exp(-r^2)*cos(kr) für einen beliebigen endlichen Wert von k nicht in Wasserstoffzustände zerlegen können. Ich versuche zu vermeiden, mich auf körperliche Erwägungen zu verlassen - sie haben mich von Anfang an in dieses Rätsel gebracht.
@ConfusinglyCuriousTheThird für jeden Zustand kann seine mittlere Energie nicht größer sein als die Energie des energetischsten Basiszustands, der für die Expansion verwendet wird. Also wenn du nimmst ψ haben E > 0 , dann kann kein Satz von Wasserstoff-Wellenfunktionen im gebundenen Zustand es darstellen – es muss mindestens eine Funktion mit geben E > 0 beim Ausbau von ψ , aber wasserstoffgebundene Zustände haben immer E < 0 .
@EmilioPisanty danke für das explizit hinzugefügte Material. Aus dieser Perspektive ergibt sich einige Verwirrung: Ich kann die negativen Energie-Eigenzustände über die Fourier-Transformation ausdrücken als ϕ ich ( p ) . Aber das ist genau der Zustand freier Zustände (Impulsbasis von ebenen Wellen in einer kartesischen Zerlegung), zu dem sie orthogonal sein sollten. Erhält man dann die „wahren freien Zustände“ durch „Abziehen“ der gebundenen Zustände von ebenen Wellenzuständen, wenn ein Bindungspotential vorhanden ist?
@EmilioPisanty In Bezug auf Ihr Beispiel ψ ( r ) in der Antwort: die Wahrscheinlichkeitsdichte | ψ | 2 wird durch die Addition der ebenen Welle nicht beeinflusst; Liegt dies wirklich außerhalb der Spanne der Eigenfunktionen negativer Energie?
@Conf Ja. Wellenfunktionen haben mehr zu bieten als nur ihren Modulus (oder wir würden Dichten anstelle von Amplituden verwenden). In diesem Fall wächst die erwartete kinetische Energie linear mit k 2 (und auch linear mit 1 / σ 2 ), während die erwartete potentielle Energie weitgehend unabhängig von den beiden ist, so dass, wenn diese beiden groß genug sind, die erwartete Gesamtenergie positiv ist. Es gibt jedoch keinen Ersatz dafür, dass Sie sich tatsächlich hinsetzen und den Stift zu Papier bringen, bevor Sie anfangen, anderen die Schuld für Ihre „Unzufriedenheit“ mit der Quantenmechanik zu geben.

Integriert man die Sammlung von Kontinuumszuständen des Wasserstoffatoms, gewichtet mit einer glatten Funktion, über eine offene und beschränkte Menge in den Parameterraum, nach dem diese Menge parametrisiert ist, erhält man einen normierbaren Zustand orthogonal zu allen diskreten Energiezuständen .

Kann eine normierbare Funktion *immer* in das diskrete Wasserstoffspektrum zerlegt werden?
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