Eigenschaften des Spektrums eines selbstadjungierten Operators auf einem trennbaren Hilbertraum

(1) Ja, das Punktspektrum ist in Ihren Hypothesen abzählbar: Andernfalls hätte der Operator eine nicht abzählbare Menge paarweise orthogonaler Vektoren, da Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators mit unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal sind. Dies ist unmöglich, weil in jedem Hilbert-Raum jede Menge (normierter) orthogonaler Vektoren durch das Lemma von Zorn zu einer Hilbert-Basis vervollständigt werden kann und jede Hilbert-Basis abzählbar ist, wenn der Raum trennbar ist.

(2) Nein, es ist nicht unbedingt wahr, dass das kontinuierliche Spektrum unabzählbar ist. Sie können zum Beispiel einen einzigen Punkt im kontinuierlichen Spektrum haben. Dies ist für das Spektrum des selbstadjungierten Operators der Fall$1/H$, wo$H$ist der Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators. Der einzige Punkt des kontinuierlichen Spektrums ist$0$.

KOMMENTAR . Allerdings glaube ich nicht, dass diskret ein wirklich passendes Adjektiv für das Punktspektrum ist. Mein Eindruck ist, dass Ihre Vorstellung von diskret die Tatsache beinhaltet, dass die Punkte isoliert sind. Für das Punktspektrum ist dies im Allgemeinen auch dann nicht der Fall, wenn der Hilbertraum separabel ist. Möglicherweise haben Sie ein Punktspektrum, das mit rationalen Zahlen zusammenfällt, die dicht beieinander liegen$\mathbb R$wie bekannt.

Tatsächlich gibt es andere Zerlegungen des Spektrums. Innerhalb eines bestimmten Ansatzes wird das sogenannte diskrete Spektrum als Teil des Punktspektrums definiert, das aus isolierten Eigenwerten besteht, deren Eigenräume endlichdimensional sind.

Wenn der Hilbertraum nicht trennbar ist, ist es sogar möglich, einen selbstadjungierten Operator zu konstruieren, dessen Punktspektrum das Ganze ist$\mathbb R$.

KOMMENTAR 2 . Es ist nicht notwendig, den Begriff des manipulierten Hilbert-Raums einzuführen , um Begriffe von angenäherten Eigenwerten und Eigenvektoren zu definieren. Gegeben sei ein selbstadjungierter Operator$A:D(A)\to H$im Hilbertraum$H$, das lässt sich nachweisen$\lambda \in \sigma_c(A)$dann und nur dann, wenn$\lambda$ist kein Eigenwert (im eigentlichen Sinne) und für jeden$\epsilon>0$Es gibt$\psi_\epsilon \in D(A)$mit$||\psi_\epsilon||=1$so dass$||A\psi_\epsilon - \lambda \psi_\epsilon|| < \epsilon$.

Lassen Sie uns zunächst die Fragen genau so beantworten, wie Sie sie formuliert haben:

Das Punktspektrum ist immer diskret in dem Sinne, dass es aus höchstens abzählbar vielen Punkten besteht.

Dies ist wahr, indem die folgenden Ergebnisse bewiesen werden: a) der von allen Eigenvektoren aufgespannte Raum ist ein abgeschlossener Teilraum des Hilbert-Raums, daher haben wir ein Orthonormalsystem von Eigenvektoren, b) zwei Eigenvektoren von zwei verschiedenen Eigenwerten sind immer orthogonal, und c) ein Orthonormalsystem eines trennbaren Hilbertraums ist abzählbar. Letzteres wird durch die Tatsache impliziert, dass trennbare Hilbert-Räume zählbare Schauder-Basen (orthonormale Basen) ermöglichen und die Tatsache, dass zwei Basen dieselbe Kardinalität haben müssen.

Beachten Sie jedoch, dass die Eigenwerte in einem anderen Sinne des Wortes nicht unbedingt diskret sind: Der Abschluss der Menge der Eigenwerte kann größer sein. Betrachten Sie als Beispiel einen Hilbert-Raum$\mathcal{H}$mit orthonormaler Basis$|\psi_n\rangle$und definiere den Operator$K$als$K:|\psi_n\rangle\mapsto 1/n|\psi_n\rangle$. Eigenwerte sind$1/n$die sich ansammeln$0$, die selbst kein Eigenwert ist.

Andererseits kann das kontinuierliche Spektrum aus nur einem Punkt bestehen.

Betrachten Sie als Beispiel denselben Operator wie oben. Da das Spektrum immer geschlossen ist,$0$liegt innerhalb des Spektrums, ist aber kein Eigenwert. Sie können leicht zeigen, dass dies der einzige Punkt des Spektrums ist, der kein Eigenwert ist (der Grund ist, dass$K$kompakt ist und für kompakte Operatoren die Eigenwerte im Spektrum dicht sind). Somit$0$ist das kontinuierliche Spektrum des Operators.

[Man könnte argumentieren, dass dieser Teil des Spektrums nicht wirklich das ist, was Sie mit "kontinuierlichem Spektrum" aus Ihrer Definition meinen - aber ich werde mich hier an die übliche Lehrbuchdefinition des kontinuierlichen Spektrums halten, was auch die Dichotomie des Punktes impliziert Spektrum vs. kontinuierliches Spektrum.]

Aber lassen Sie mich Ihnen jetzt sagen, dass Ihr erster Absatz aus vielen Gründen problematisch ist, und noch viel mehr einführen.

Zunächst einmal gibt es ein sogenanntes diskretes Spektrum , das jedoch nicht dem Punktspektrum des Operators entspricht.

Definition: Let$A$ein selbstadjungierter Operator auf einem separierbaren Hilbertraum sein. Das diskrete Spektrum besteht aus allen isolierten Eigenwerten, also Eigenwerten$\lambda$mit endlicher Vielheit, so dass für einige$\varepsilon>0$, wir haben$\sigma(A)\cap (\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)=\{\lambda\}$. Das Komplement des diskreten Spektrums wird als essentielles Spektrum bezeichnet .

Zum Beispiel, wenn Sie den Operator nehmen$K$oben, dann ist das diskrete Spektrum genau das Punktspektrum, während das wesentliche Spektrum aus besteht$0$. Andererseits für den Identitätsoperator$I$, besteht eindeutig aus dem Punktspektrum (und auch dem Spektrum).$1$, aber das diskrete Spektrum ist leer, da der Eigenwert von unendlicher Vielfachheit ist.

Die Idee ist, dass "diskret" eigentlich "alle Eigenwerte bedeutet, die keine Häufungspunkte von Eigenwerten sind". Offensichtlich besteht das diskrete Spektrum aus höchstens abzählbar vielen Werten.

Aber das ist nicht alles. Es mag ziemlich unglücklich erscheinen, dies zu haben$0$Teil des durchgängigen Spektrums des kompakten Operators sein$K$. Dies ermöglicht insbesondere, dass das kontinuierliche Spektrum nur aus Punkten besteht. Gleichzeitig werden die Eigenwerte von$K$überspannen bereits den gesamten Hilbertraum$\mathcal{H}$, muss man also nicht haben$0$ein echter Teil des Spektrums sein. Außerdem möchten Sie, wie Sie sagen, vielleicht etwas wie "Kontinuierliches Spektrum wird durch einen kontinuierlichen Teil der realen Linie gegeben". Dazu müssen Sie einige Werte aus dem kontinuierlichen Spektrum ausschließen.

Dies kann auf systematische Weise erfolgen, indem Sie das spektrale Maß des Hilbert-Raumoperators definieren und die Radon-Nikodym-Zerlegung des Maßes in Bezug auf das Lebesgue-Maß in einen reinen Punktteil , einen absolut kontinuierlichen Teil und einen singulär kontinuierlichen Teil betrachten :

Satz: Sei$A$ein selbstadjungierter Operator auf einem separierbaren Hilbertraum sein. Lassen$\mu$sei das spektrale Maß, für das definiert ist$A$, dann$\mu$kann in ein reines Punktpar zerlegt werden$\mu_{pp}$bestehend aus allen Eigenwerten von$A$, ein absolut kontinuierlicher Teil$\mu_{ac}$(der in Bezug auf das Lebesgue-Maß absolut stetig ist) und einen singulär stetigen Teil$\mu_{sc}$(der Rest").

Die Unterstützung von$\mu_{pp}$(wo es nicht Null ist) sind dann die Eigenwerte$\sigma_{pp}(A)$, die Unterstützung von$\mu_{ac}$heißt das absolut kontinuierliche Spektrum$\sigma_{ac}(A)$und ebenso haben wir$\sigma_{sc}$. Dann

wobei der Überstrich den Abschluss bezeichnet. Hier ist der interessante Teil: Ein Maß, das in Bezug auf das Lebesgue-Maß absolut stetig ist, kann keinen zählbaren Träger haben, da solche Mengen ein Nullmaß haben. Mit anderen Worten: Für das absolut (und ich glaube auch für das singulär stetige) Spektrum besteht das Spektrum immer aus unabzählbar vielen Punkten.

Außerdem kann man einen Hilbertraum definieren$\mathcal{H}_{pp}$bestehend aus allen Eigenvektoren und Hilbert Spaes$\mathcal{H}_{ac}$und$\mathcal{H}_{sc}$bestehend aus allen "angenäherten Eigenfunktionen" des absolut und singulär kontinuierlichen Spektrums und diese drei Räume addieren sich:

In diesem Sinne ist dies auch die „richtige“ Zerlegung.

Für unseren Betreiber$K$man kann dann leicht sehen, dass die kontinuierlichen Teile des Spektrums leer sind, es hat nur reines Punktspektrum - genau wie wir es wünschen.

Beachten Sie jedoch, dass die drei Spektren nicht disjunkt sein müssen. Sie können ein kontinuierliches Spektrum und einige Eigenwerte haben, die in das kontinuierliche Spektrum eingebettet sind.

Lassen Sie uns zum Schluss noch ein bisschen Physik machen (zumindest fast). Es gibt einen schönen Satz, der besagt, dass die letzte Zerlegung die richtige für die Physik ist. Es heißt RAGE-Theorem (siehe zum Beispiel Theorem 5.7 in Garald Teschls Buch "Mathematical Methods in Quantum Mechanics" ) und sagt Ihnen im Grunde, dass, wenn Sie einige Hamiltonina betrachten$H$, bildet der reine Punktteil des Spektrums die gebundenen Zustände des Operators, indem die Teilchen ewig in einem bestimmten Bereich eingeschlossen sind. Auf der anderen Seite bildet der absolut kontinuierliche Teil die unbegrenzten Zustände, die entkommen und nie zurückkehren (der einzigartig kontinuierliche Teil ist schwierig - normalerweise versucht man zu zeigen, dass er nicht existiert, aber er kann als unbegrenzte Zustände interpretiert werden, bei denen diese Art von Flucht stattfindet Unendlichkeit, aber bis dahin kehren Sie immer wieder dorthin zurück, wo sie begonnen haben).