Ist es möglich, den Hamilton-Operator aus der Kenntnis seiner Wellenfunktion im Grundzustand zu rekonstruieren?

WENN Sie wissen, dass Ihr Hamiltonian die Form hat

Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass dieses Verfahren garantiert, dass Ihre Initiale$\Psi_0$wird ein Eigenzustand des resultierenden Hamiltonian sein, aber es schließt nicht die Möglichkeit aus, dass$\hat H$wird einen separaten Grundzustand mit niedrigerer Energie zulassen. Als sehr klares Beispiel dafür, wenn$\Psi_0$eine 1D-Funktion mit einem Knoten ist, dann (weil 1D-Grundzustände keine Knoten haben ) ist Ihnen ein Unikat garantiert$V(x)$so dass$\Psi_0$ist ein Eigenzustand, aber niemals der Grundzustand.

Wenn Sie nicht wissen, dass Ihr Hamilton-Operator diese Struktur hat, gibt es (im allgemeinen Fall) überhaupt keine Informationen, die Sie über den Hamilton-Operator nur aus dem Grundzustand extrahieren können.

• Als einfaches Beispiel, ohne zu weit von unserem anfänglichen Hamilton-Operator in entfernt zu bleiben$(1)$, betrachten Sie diesen Hamilton-Operator in Polarkoordinaten,

  $$\hat H=\frac{-\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{\hbar ^2r^2}L^2\right)+V(r),$$ wo ich vermute$V(\mathbf r)=V(r)$ist kugelsymmetrisch und kapselt die Winkelabhängigkeit in den Gesamtdrehimpulsoperator ein$L^2$.

  Nehmen wir also an, dass ich Ihnen seinen Grundzustand gebe und dass er ein Eigenzustand von ist$L^2$mit Eigenwert Null (wie zB der Grundzustand des Wasserstoff-Hamiltonoperators). Wie können Sie feststellen, ob es der Hamiltonian ist, der es erstellt hat?$H$oder eine ähnliche Version,

  $$\hat H{}'=\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r} +V(r),$$ ohne Drehimpulskomponente? Beide Versionen haben$\Psi_0$als Grundzustand (obwohl hier$\hat H'$wird auf jedem Eigenraum eine wilde Entartung haben, um fair zu sein). Fahren Sie mit diesem Gedanken fort, was ist mit $$\hat H{}''=\frac{-\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r} + f(r)L^2\right)+V(r),$$ wo ich eine beliebige reelle Funktion eingeführt habe$f(r)$hinter dem Drehimpuls? Dies hat keine Auswirkungen auf die$\ell=0$Staaten, aber es wird den Rest des Spektrums wer weiß wohin bringen. (Tatsächlich können Sie sogar eine beliebige Funktion von anhängen$L_x$,$L_y$und$L_z$, wo du gerade dabei bist.)

• Etwas allgemeiner jeder selbstadjungierte Operator, der verschwindet$\left|\Psi_0\right>$kann dem Hamilton-Operator hinzugefügt werden, um einen Operator zu erhalten, der hat$\left|\Psi_0\right>$als Eigenzustand. Als einfache Konstruktion bei gegebenem beliebigen selbstadjungierten Operator$\hat A$, die Kombination

  $$\hat H {}''' = E_0 \left|\Psi_0\right>\left<\Psi_0\right| + \left(\mathbf 1 - \left|\Psi_0\right>\left<\Psi_0\right| \right) \hat A \left(\mathbf 1 - \left|\Psi_0\right>\left<\Psi_0\right| \right)$$ (wobei die Faktoren in Klammern zum Modifizieren da sind$\hat A$ins Verschwinden bei$\left|\Psi_0\right>$und sein Konjugat) wird immer haben$\left|\Psi_0\right>$als Eigenzustand.

Selbst wenn Sie alle Eigenzustände kennen, sind die Informationen immer noch nicht ausreichend, um den Hamilton-Operator zu rekonstruieren, da Sie damit nicht unterscheiden können zwischen, sagen wir,$\hat H$und$\hat{H}{}^2$. Kennt man dagegen alle Eigenzustände und deren Eigenwerte, dann kann man den Hamilton-Operator einfach mit der spektralen Zerlegung rekonstruieren.

Wenn Sie wirklich darauf bestehen, gibt es im Allgemeinen wahrscheinlich einen Kompromiss zwischen dem, was Sie über die Struktur des Hamilton-Operators wissen (z. B. "der Form$\nabla^2+V$" gegenüber gar keinen Informationen) und wie viele der Eigenzustände und Eigenwerte Sie benötigen, um es vollständig zu rekonstruieren (ein einzelnes Paar gegenüber dem Ganzen), insbesondere wenn Sie ungefähre Rekonstruktionen zulassen. Je nachdem, wo Sie einen Schieberegler platzieren, werden Sie erhalten Sie eine andere Lesung auf der anderen.

Wenn Sie jedoch kein bestimmtes Problem zu lösen haben (wie die Rekonstruktion eines Hamilton-Operators vage bekannter Form aus einem bestimmten Satz endlicher experimenteller Daten), lohnt es sich definitiv nicht, die Details dieses Kontinuums von Kompromissen über das Wissen hinaus zu untersuchen existiert und die Extreme, die ich oben erwähnt habe.

Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass alle Operatoren beschränkt sind. Wenn Sie die Wellenfunktion kennen$\psi$dem Grundzustand des unbekannten Hamiltonoperators zugeordnet$H$, dann$H$hat die Form

Es gibt keinen analytischen Beweis, aber numerische Beweise deuten darauf hin, dass Sie, wenn Sie wissen, dass der Hamilton-Operator lokal ist und die Eigenzustands-Thermalisierungshypothese erfüllt (was die meisten lokalen Hamilton-Operatoren tun), den gesamten Hamilton-Operator aus einem einzigen angeregten Eigenzustand extrahieren können, wenn auch nicht aus der Grundzustand: https://arxiv.org/abs/1503.00729 .

Wenn unbekannt, ist ein Teil des Hamilton-Operators potentiell$V({\bf{r}})$, dann kannst du eine stationäre Schrödinger-Gleichung schreiben und herausfinden, wie hoch das Potenzial sein sollte.