Einzelnes Elektron an einer Kette aus zwei Atomen: Faktorisierung des Hilbert-Raums durch externe und interne Bewegungsgrade

Question

Einzelnes Elektron an einer Kette aus zwei Atomen: Faktorisierung des Hilbert-Raums durch externe und interne Bewegungsgrade

StarBuck

Ich habe eine Frage zu den ersten Seiten des Buches „A Short Course on Topological Insulators“ von János K. Asbóth, László Oroszlány und András Pályi

Aber eigentlich können wir es hier sehen: http://theorie.physik.uni-konstanz.de/burkard/sites/default/files/ts15/TalkSSH.pdf

Darstellung des Problems

Wir arbeiten mit einer eindimensionalen Kette, in der es zwei Arten von Atomen gibt $A$ Und $B$ . Die Einheitszelle ist mit gekennzeichnet $m$ . Wir untersuchen die Bewegung eines Elektrons.

Wir haben unterschiedliche Interaktionsbedingungen: $v$ Und $w$ .

Sie arbeiten mit dem folgenden hamiltonischen SSH-Modell:

H = v \sum_{M = 1}^{N} (| M, B ⟩ ⟨ M, A | + H C) + w \sum_{M = 1}^{N - 1} (| M + 1, A ⟩ ⟨ M, B | + H C)

$H=v \sum_{m=1}^N (|m,B\rangle\langle m,A| +hc)+w\sum_{m=1}^{N-1} (|m+1,A\rangle\langle m,B|+hc)$

Wo $hc$ ist für das hermitische Konjugat.

Wenn wir also den Hamiltonian schreiben, haben wir etwas, das so aussieht:

H = [\begin{matrix} 0 & v & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v & 0 & w & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w & 0 & v & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & v & 0 & w & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & w & 0 & v & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & v & 0 & w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & w & 0 & v \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & v & 0 \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix}0&v&0&0&0&0&0&0\\v&0&w&0&0&0&0&0 \\ 0&w&0&v&0&0&0&0 \\ 0&0&v&0&w&0&0&0\\ 0&0&0&w&0&v&0&0\\ 0&0&0&0&v&0&w&0 \\ 0&0&0&0&0&w&0&v \\ 0&0&0&0&0&0&v&0 \end{bmatrix}$

Und der Hilbert-Raum kann als Tensorprodukt von angesehen werden:

$\mathcal{H}_{tot}=\mathcal{H}_{ext} \otimes \mathcal{H}_{int}$

Wobei der äußere Freiheitsgrad durch den Buchstaben dargestellt wird $m$ , und die interne dadurch, dass wir vor Ort sind $A$ oder $B$ .

Daher : $|m,\alpha\rangle = |m\rangle \otimes |\alpha \rangle$ Wo $\alpha=A,B$ .

Meine Frage

Aber irgendwas verstehe ich hier falsch.

Ich stimme zu, dass wir den gesamten Hilbert-Raum des Problems als tensorielles Produkt eines Hilbert-Raums mit internen und externen Freiheitsgraden sehen können.

Aber gleichzeitig, wenn wir den Staat betrachten $|m,A\rangle$ , würden wir eine um das Atom zentrierte Gauß-Verteilung sehen $A$ in der Zelle $m$ . Und dann $|A\rangle$ wäre eine Gaußsche zentriert in $0$ Und $|m\rangle$ würde es in die Position "verschieben". $m$ Rechts ? Aber wenn wir alles auf die schreiben $x$ Grundlage haben wir:

ψ (X) = ψ_{M} (X) ψ_{A} (X)

$\psi(x)=\psi_m(x) \psi_A(x)$ und es sollte sein

0

$0$ außerhalb der Unterstützung von

ψ_{A}

$\psi_A$ . Und wie

ψ_{A}

$\psi_A$ ist eine Gaußsche zentriert in

0

$0$ wir hätten eine Wellenfunktion, die überall Null ist, wenn wir weit genug gehen.

Wo ist der Fehler, den ich in meiner Vision des Problems mache?

Ist nicht $|m,A\rangle$ eine um das Atom zentrierte Gaußsche $A$ das ist in der zelle $m$ ? Wenn ja, was repräsentiert die Kets $|m\rangle$ Und $|A\rangle$ physikalisch (wie diese Wellenfunktionen aussehen).

Kenny H

Es sieht so aus, als ob das von Ihnen erwähnte Buch auch über arXiv.com zugänglich ist. Hier ist der Link, den ich gefunden habe: arxiv.org/pdf/1509.02295.pdf

Antworten (3)

Einzelnes Elektron an einer Kette aus zwei Atomen: Faktorisierung des Hilbert-Raums durch externe und interne Bewegungsgrade

Es sieht so aus, als ob das von Ihnen erwähnte Buch auch über arXiv.com zugänglich ist. Hier ist der Link, den ich gefunden habe: arxiv.org/pdf/1509.02295.pdf

Everett Du · Answer 1

Es ist falsch zu schreiben $\psi(x)=\psi_m(x)\psi_A(x)$ . Die richtige Wellenfunktion $\psi_{mA}(x)$ das den Staat repräsentiert $|m,A\rangle$ sollte sein

ψ_{M A} (X) = e^{- M \partial_{X}} ψ_{A} (X) = (1 - M \partial_{X} + \frac{1}{2!} M^{2} \partial_{X}^{2} - \frac{1}{3!} M^{3} \partial_{X}^{3} + \dots) ψ_{A} (X) = ψ_{A} (X - M),

$\psi_{mA}(x)=e^{-m\partial_x}\psi_{A}(x)=\left(1-m\partial_x+\frac{1}{2!}m^2\partial_x^2-\frac{1}{3!}m^3\partial_x^3+\cdots\right)\psi_{A}(x) =\psi_{A}(x-m),$ wobei wir die Formel der Taylorentwicklung verwendet haben. Physikalisch kann dies verstanden werden, indem man das bemerkt

p = - i \partial_{x}

$p=-\text{i}\partial_x$ ist der Impulsoperator, der die Übersetzung erzeugt, und die Bedeutung des Zustands

| m, A ⟩

$|m,A\rangle$ ist das einfach das Gaußsche Paket

ψ_{A} (x)

$\psi_A(x)$ übersetzt durch die Verschiebung

m

$m$ .

Das Tensorprodukt in $|m,A\rangle=|m\rangle\otimes|A\rangle$ bedeutet nicht, zwei Wellenfunktionen direkt miteinander zu multiplizieren. Es bedeutet nur, dass, wenn Sie die folgende lineare Superposition betrachten, das Ergebnis in der Tensorproduktbasis entwickelt werden kann als

(C_{M} | M ⟩ + C_{N} | N ⟩) \otimes (C_{A} | A ⟩ + C_{B} | B ⟩) = C_{M} C_{A} | M, A ⟩ + C_{M} C_{B} | M, B ⟩ + C_{N} C_{A} | N, A ⟩ + C_{N} C_{B} | N, B ⟩ .

$(c_m|m\rangle+c_n|n\rangle)\otimes(c_A|A\rangle+c_B|B\rangle)=c_mc_A|m,A\rangle+c_mc_B|m,B\rangle+c_nc_A|n,A\rangle+c_nc_B|n,B\rangle.$ Dies definiert eine Tensorproduktstruktur im Hilbert-Raum. Jede algebraische Struktur, die diese Eigenschaft von binlienaren Abbildungen erfüllt, kann als Tensorprodukt bezeichnet werden. Sie können sehen, dass die folgende algebraische Struktur in Bezug auf die Wellenfunktion tatsächlich ein Tensorprodukt ist

(C_{M} e^{- M \partial_{X}} + C_{N} e^{- N \partial_{X}}) \otimes (C_{A} ψ_{A} (X) + C_{B} ψ_{B} (X)) = C_{M} C_{A} ψ_{A} (X - M) + C_{M} C_{B} ψ_{B} (X - M) + C_{N} C_{A} ψ_{A} (X - N) + C_{N} C_{B} ψ_{B} (X - N) .

$(c_m e^{-m\partial_x}+c_n e^{-n\partial_x})\otimes(c_A \psi_A(x)+c_B \psi_B(x))=c_mc_A \psi_A(x-m)+c_mc_B \psi_B(x-m)+c_nc_A \psi_A(x-n)+c_nc_B \psi_B(x-n).$ In diesem Sinne die Betreiber

e^{- m \partial_{x}}

$e^{-m\partial_x}$ bilden eine Basis des externen Hilbert-Raums, der als bezeichnet werden kann

| m ⟩

$|m\rangle$ abstrakt. Es ist keine Wellenfunktion zugeordnet

| m ⟩

$|m\rangle$ , Weil

| m ⟩ = e^{- m \partial_{x}}

$|m\rangle=e^{-m\partial_x}$ wird in diesem Fall tatsächlich als linearer Operator dargestellt.

Naja, wenn man darauf besteht, das zu verstehen $|m\rangle$ Zustand als Wellenfunktion, ist eine mögliche Interpretation, ihn als eine Dirac-Delta-Funktion zu betrachten, die sich bei befindet $x=m$ (das Zentrum der $m$ Elementarzelle).

ψ_{M} (X) = δ (X - M) .

$\psi_m(x)=\delta(x-m).$ Aber immer noch das Tensorprodukt

| m ⟩ \otimes | A ⟩

$|m\rangle\otimes|A\rangle$ entspricht nicht der Multiplikation der Wellenfunktionen

ψ_{m} (x)

$\psi_m(x)$ Und

ψ_{A} (x)

$\psi_A(x)$ punktuell zusammen. Sie ist eigentlich als Faltung der beiden Wellenfunktionen zu verstehen:

ψ_{M A} (X) = (ψ_{M} * ψ_{A}) (X) = \int D j ψ_{M} (j) ψ_{A} (X - j) = ψ_{A} (X - M) .

$\psi_{mA}(x)=(\psi_{m}*\psi_A)(x)=\int\text{d}y\psi_m(y)\psi_A(x-y)=\psi_A(x-m).$ Die Faltung erfüllt auch die algebraischen Eigenschaften des Tensorprodukts und ist daher eine legitime Darstellung des Tensorprodukts. Dieser Standpunkt entspricht insgeheim dem obigen Operator-Standpunkt, da in der Funktionsanalyse die Dirac-Delta-Funktion (oder die verschobene Dirac-Delta-Funktion) tatsächlich als der Kern des Identitätsoperators (oder des Übersetzungsoperators) definiert ist. .

Vielen Dank für Ihre Antwort. Aber ich dachte, dass in einem Tensorprodukt des Hilbert-Raums jedes Element eine integrierbare Funktion sein sollte. Aber anscheinend erlauben wir Operatoren auch, in einem der Elemente des Tensorprodukts zu leben? Ich wusste das nicht.
@StarBucK Nun, dein Verständnis entspricht nur dem einfachsten Fall des Tensorprodukts. In den Augen von Mathematikern kann das Tensorprodukt alles sein, was die universelle Eigenschaft bilinearer Karten erfüllt. Daher sollten wir das Tensorprodukt von einem höheren und allgemeineren Standpunkt aus betrachten. Wenn Sie jedoch darauf bestehen, in Wellenfunktionen zu denken, ist dies auch möglich. Siehe den angehängten Abschnitt meiner aktualisierten Antwort.
Hmm zu Ihrem angehängten Abschnitt für mich widerspricht es den Postulaten des Skalarprodukts mit Tensorprodukten. Tatsächlich definieren wir sie als $\langle x , x' | \psi , \phi \rangle= \psi(x) \phi(x')$ . Also ändern Sie in diesem Teil dieses Postulat?
Nachdem ich Ihre Antwort durchgesehen hatte, stellte ich fest, dass meine Antwort unten viel zu unrigoros ist ...
@StarBucK Das Postulat $\langle x,x'|\psi,\phi\rangle=\psi(x)\phi(x')$ gilt hier nicht für das Tensorprodukt. Das Postulat wurde für den Fall des Tensorprodukts zweier Ein-Teilchen-Wellenfunktionen zu einer Zwei-Körper-Wellenfunktion formuliert, wobei gilt: $x$ Und $x'$ sind die Koordinaten für beide Teilchen. Aber hier haben wir nur ein einzelnes Teilchen, und es hat nur eine Koordinate $x$ , also ist das Postulat in diesem Fall bedeutungslos.
@StarBucK Die Schlussfolgerung ist, dass wir für verschiedene Realisierungen des Tensorprodukts verschiedene Formen des Postulats annehmen müssen, zum Beispiel: $\langle m,x|n,A \rangle=\delta_{mn}\psi_{nA}(x+m)$ .

Drachen.Y · Answer 2

OK, mal sehen, ob es das ist, was Sie wollen: Betrachten Sie eine allgemeine Position:

\begin{aligned} X = M \cdot A_{0} + \tilde{X} \end{aligned}

$\begin{align} x = m \cdot a_0 + \tilde{x} \end{align}$ und betrachte folgende Basisfunktion:

\begin{aligned} ψ_{M} (X) \propto \sum_{M = 0}^{N} δ (M \cdot A_{0}) \\ lim_{X - \infty} & ψ_{A} (X) = 0 \end{aligned}

$\begin{align} &\psi_M(x) \propto \sum_{m = 0}^{N} \delta(m\cdot a_0) \\ \lim_{x-\infty}\quad& \psi_A(x) = 0 \end{align}$ dann kann Ihre Wellenfunktion geschrieben werden als:

\begin{aligned} ψ (X) = ψ_{M} (M \cdot A_{0}) \otimes ψ_{A} (\tilde{X}) \end{aligned}

$\begin{align} \psi(x) = \psi_M(m\cdot a_0)\otimes\psi_A(\tilde{x}) \end{align}$

Kenny H · Answer 3

Kenny H

Ich denke, Ihr Problem liegt an einem Missverständnis darüber, was der Zustandsraum des Tensorprodukts ist, der von der Basis aufgespannt wird $\{\lvert m,X \rangle\}$ Wo $m=1,2,3,4$ Und $X=A,B$ , bedeutet. Das von Ihnen betrachtete SSH-Modell wird durch den Hamilton-Operator spezifiziert, dessen Zustände von diesem Tensorprodukt von Basisvektoren überspannt werden. Im Kontext dieses Modells ist der Staat $\lvert A \rangle$ hat nicht unbedingt eine eigene Bedeutung. Daher glaube ich Ihrer Interpretation, mit dem Staat zu beginnen $\lvert A\rangle$ ein Gaußscher zu sein, der sich auf irgendetwas konzentriert, ist falsch. Dieser Zustand allein hat keine Bedeutung. Innerhalb dieses Modells müssen die Zustände durch das vollständige Tensorprodukt angegeben werden.

StarBuck

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich bin mir nicht sicher, ob ich es verstehe. Wenn ich ein Tensorprodukt von Zuständen habe, kann ich es immer darauf projizieren

⟨ x, x^{'} |

$\langle x, x'|$ . Daher

⟨ x, x^{'} | m, X ⟩ = ⟨ x | m ⟩ ⟨ x^{'} | X ⟩ = ψ_{m} (x) ψ_{X} (x^{'})

$\langle x,x' |m,X\rangle=\langle x | m \rangle \langle x' | X \rangle = \psi_m(x) \psi_X(x')$ . So verstehe ich nicht

Kenny H

Sie haben völlig Recht, dass Sie ein Tensorprodukt von Zuständen immer auf alles projizieren können, was Sie wollen. Das Problem liegt in Ihrer ersten Erklärung des Problems, wo Sie es als Anfang betrachten

| A ⟩

$\lvert A\rangle$ und dann durch Angabe verschieben

| m ⟩

$\lvert m\rangle$ . Die Staaten

| A ⟩

$\lvert A \rangle$ Und

| m ⟩

$\lvert m \rangle$ haben für sich genommen keine Bedeutung, da der Zustandsraum des Modells ein Tensorprodukt der beiden ist. Hilft das?

StarBuck

Also was du meinst ist das in der Tat

| A ⟩

$|A\rangle$ hat eine bestimmte Wellenfunktion, aber es ist nicht die physikalische Bedeutung, die ich für ein Gaußsches Zentrum halte. Es ist in der Tat eine Funktion auf

R

$\mathbb{R}$ aber etwas, bei dem es schwer ist, eine körperliche Intuition zu haben. Im Gegenteil

| m, A ⟩

$|m,A\rangle$ das kann wirklich als Gaußsches Zentrum auf dem Atom gesehen werden

A

$A$ in der Zelle

m

$m$ . Meinst Du das ?

Kenny H

Nein. In diesem Modell ist der Zustandsraum das Tensorprodukt

| m ⟩ \otimes | X ⟩

$\lvert m\rangle \otimes \lvert X\rangle$ . Sie müssen beide Teile des Tensorprodukts angeben, um Zustände im Zustandsraum dieses Modells auszuwählen. Der Zustandsvektor

| A ⟩

$\lvert A \rangle$ hat keine eigene Bedeutung und es macht keinen Sinn, über seine Wellenfunktion zu sprechen.

Einzelnes Elektron an einer Kette aus zwei Atomen: Faktorisierung des Hilbert-Raums durch externe und interne Bewegungsgrade

StarBuck

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Everett Du

StarBuck

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Drachen.Y

Everett Du

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Kenny H

StarBuck

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Kenny H

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