Woher wissen wir, dass die Bewegung des Teilchens in einem zentralen Kraftfeld auf einer Ebene liegt?

BILDLICHE ANTWORT

In der Abbildung sehen wir 4 Positionen$\;\rm P_1,P_2,P_3,P_4\;$des bewegten Teilchens mit Ortsvektoren$\;\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\mathbf{r_3},\mathbf{r_4}$. Unter Einwirkung einer Zentralkraft der Drehimpulsvektor$\;\mathbf{L}=\mathbf{r}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v}\;$ist konstant. Die Vektoren$\;\mathbf{r},\mathbf{v}\;$sind die Position und der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens zu einem beliebigen Zeitpunkt.

So

Also alle Punkte$\;\rm P_\jmath\;$, alle Positionsvektoren$\;\mathbf{r_\jmath}\;$und folglich alle Geschwindigkeitsvektoren$\;\mathbf{v_\jmath}\;$liegen auf einer Ebene senkrecht zu$\;\mathbf{L}\;$und wir haben eine ebene Bewegung.

Wenn die Kraft auf ein Objekt radial ist,$\mathbf{F}\parallel\mathbf{r}$also der Drehimpuls$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$hat eine verschwindende Zeitableitung, eine Summe von zwei Kreuzprodukten paralleler Vektoren, nämlich.$\mathbf{v}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times\mathbf{F}$. Es ist die Orthogonalität zu diesem erhaltenen Drehimpuls, die den Beweis vervollständigt.

Interessanterweise hat das per se nichts mit 3D & Kreuzprodukt zu tun : Wir können den Drehimpuls definieren$L^{ij}:=x^ip^j-x^jp^i$in beliebiger räumlicher Dimension$d$, und die Titelaussage von OP bleibt wahr.

Dies folgt lediglich daraus, dass eine zentrale Kraft die Bewegungsgleichungen liefert$\dot{\bf x} \parallel {\bf p}$Und$\dot{\bf p} \parallel {\bf x}$(was wiederum impliziert, dass der Drehimpuls$L^{ij}$wird konserviert). Definieren$\pi$die Ebene/Linie/Punkt (durch den Ursprung) sein, die von den Anfangspositions- und Impulsvektoren aufgespannt wird. Leite (aus den Bewegungsgleichungen$\dot{\bf x} \parallel {\bf p}$Und$\dot{\bf p} \parallel {\bf x}$), dass die Punktmasse weiterhin auf diese Ebene/Linie/Punkt beschränkt bleibt$\pi$für immer$t$.$\Box$