Intuition für die Erhaltung des Drehimpulses einer Gruppe von Teilchen

Die Drehimpulserhaltung hängt eng damit zusammen, dass es keine privilegierte Raumrichtung gibt. Infolgedessen hat eine einmal durch ein isoliertes System definierte Richtung keinen Grund, sich während der Systementwicklung zu ändern, da es keine bestimmte absolute Richtung gibt, die sie sozusagen "zurückruft". Das System hat eine Rotationsträgheit .

Ich werde darauf am Ende dieser Diskussion zurückkommen. Aber beginnen wir mit Ihrer Intuition für den linearen Impuls:

Ein einzelnes Teilchen driftet weiter in eine Richtung, es sei denn, es wird zu einer Änderung gezwungen.

Dies liegt daran, dass es keine privilegierte Position im Weltraum gibt. Also noch einmal, ein isoliertes System, das eine Position definiert (indem es dort ist ), hat keinen Grund, es zu ändern. Von einem anderen Inertialsystem aus betrachtet, bewegt sich sein Massenmittelpunkt gleichmäßig auf einer geraden Linie: so erscheint "sich nicht bewegen" im allgemeinsten Sinne. Sonst bräuchten wir eine Referenz für die absolute Ruhe, die wir gerade nicht haben, weil es keine absolute Position gibt.

Das System, das keinen Grund hat, die Art und Weise zu ändern, wie es sich "nicht bewegt", hat also Trägheit : Es braucht eine Kraft, um die Klasse von Trägheitsrahmen, die es definiert, in eine andere zu ändern. Die benötigte Kraft ist das Produkt der relativen Geschwindigkeit des endgültigen Rahmens in Bezug auf die anfängliche mit der Systemmasse. Die Masse misst die Trägheit.

Und auch eine isolierte Gruppe von Partikeln driftet als Ganzes weiter in eine durchschnittliche Richtung, wenn sie nicht zu einer Änderung gezwungen wird. Das Gesetz für eine isolierte Gruppe von Teilchen hat genau dieselbe Form wie das für ein einzelnes Teilchen.

Ja, aber von welchem ​​Gesetz sprichst du? Denn die Impulserhaltung ist nicht die Erhaltung der Geschwindigkeit: Es ist die Erhaltung der Gesamtbewegung mit Trägheit des Systems (andernfalls wäre dieselbe Kraft erforderlich, um eine Fliege anzuhalten, als um ein Auto mit derselben Geschwindigkeit anzuhalten).

Und deshalb sieht es für Sie beim Drehimpuls anders aus:

Ein Partikel kann sich nicht alleine im Kreis bewegen, während eine Gruppe von Partikeln als Ganzes rotiert

Eine Gruppe von Teilchen dreht sich nicht weiter . Siehe den in dieser Frage beschriebenen Fall : Wir haben zwei Teilchen (dort Astronauten), die durch ein straffes Seil verbunden sind und sich um ihren Massenmittelpunkt drehen. Wenn sie das Seil loslassen, folgen sie jeweils einer geraden Bahn: Von einem in Bezug auf ihren Massenmittelpunkt ruhenden Trägheitsrahmen (nicht rotierenden) betrachtet, verschwindet ihre Winkelgeschwindigkeit (in Bezug auf ihren Massenmittelpunkt) zunehmend. Der Drehimpuls bleibt erhalten , weil sie sich von ihrem Massenmittelpunkt entfernen , nicht weil sie sich im Kreis bewegen.

Das Gesetz für ein einzelnes Teilchen führt zu einem anders geformten Gesetz für die Gruppe.

Das einzelne Teilchen ist ein festes Objekt: seine gesamte Massenverteilung wird durch Kohäsionskräfte aufrechterhalten. Wenn Sie es abstrakt in verschiedene Teile zerlegen, würde jedes dieser Teile einer geraden Linie folgen und sich vom Rotationszentrum wegbewegen, wenn es nicht an die anderen Teile gebunden wäre. Genau wie die Astronauten: Sie rotieren so lange, wie sie durch das Seil gefesselt sind.

Dies wurde alles in der Antwort von @stafusa gut erklärt.

Das Gesetz der Drehimpulserhaltung (das tatsächlich für ein einzelnes Teilchen und eine Gruppe gleich ist) ist also nicht das Gesetz, an das Sie denken: Es ist kein Gesetz darüber, sich im Kreis zu bewegen. Es geht nicht um die Erhaltung der Winkelgeschwindigkeit.

Was ist es dann? Es ist ein Gesetz zur Erhaltung der Gesamtrichtung mit Rotationsträgheit . Ähnlich wie eine gleichförmige lineare Bewegung die allgemeinste Art des "Nicht-Bewegens" ist, ist das Drehen in einer Weise, dass sich der Gesamtdrehimpuls nicht ändert, die allgemeinste Art des "Nicht-Drehens".

Was nicht analog zur Erhaltung des linearen Impulses ist, ist die (falsche) Idee, dass wir das, was durch eine Klasse von Referenzrahmen erhalten wird, charakterisieren können, weil rotierende Rahmen nicht inertial sind. Wenn wir uns also entlang eines Vielteilchensystems drehen würden (genauso wie wir zuvor einer Gruppe von Teilchen in Trägheitsbewegung gefolgt sind), würden wir nicht so leicht beobachten, dass das System „nicht rotiert“ (im Gegensatz zum vorherigen). Systemmassenschwerpunkt "nicht bewegt"). Wir müssten Trägheitskräfte (wie die Coriolis-Kraft) berücksichtigen, die scheinbar einer Änderung der Winkelgeschwindigkeit entsprechen, während sie tatsächlich dazu beitragen, sowohl die Rotationsachse als auch die Rotationsträgheit zu erhalten.

Was Sie eine Intuition über die Erhaltung des linearen Impulses nennen, ist eigentlich kaum mehr als daran gewöhnt zu sein . Die alten Griechen und die meisten kleinen Kinder würden Ihnen nicht unbedingt zustimmen, dass es nicht notwendig ist, dass eine Kraft auf einen Körper einwirkt, um ihn auf konstanter Geschwindigkeit zu halten.

Allerdings gibt es einige Beobachtungen, die helfen könnten, sich an die Erhaltung des Drehimpulses zu "gewöhnen":

1) Erstens, in der allgemeinen Situation ist die Entwicklung einer Intuition aus den Beweisschritten tatsächlich der beste Ansatz, aber um diese Natürlichkeit zu erreichen , nach der Sie suchen, ist es wahrscheinlich am besten, einen homogenen, symmetrischen starren Körper zu betrachten, sagen wir eine Kugel, sich im Raum schwebend um seine Achse drehen ("spinnen") und sich fragen: Warum sollte dieser Ball aufhören sich zu drehen oder schneller zu drehen beginnen, ohne dass eine Kraft auf ihn einwirkt?

2) Es hilft auch zu erkennen, dass es sich um ein weit verbreitetes Missverständnis handelt$^1$Drehimpuls mit kreisförmiger (oder höchstens elliptischer) Bewegung zu verknüpfen. Betrachtet man die Definition

und wenden es auf ein freies Teilchen an, das sich geradlinig z. B. mit Geschwindigkeit bewegt$\mathbf{v}=v\,\hat{\imath}$, entfernt von der$z$Achse durch$r_\perp$(siehe Abbildung unten) und Masse hat$m$, können Sie seinen Drehimpuls in Bezug auf berechnen$z$Achse:$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = m\mathbf{r}\times\mathbf{v} = -mv r_\perp\hat{k}$.

Seit$\mathbf{v}$Und$m$sind konstant, und so ist es$r_\perp$,$\mathbf{L}$ist auch konstant$-$bleibt in Abwesenheit von Kräften erhalten$^2$. Das ist also eine Situation, in der sich die Drehimpulserhaltung auf die lineare Impulserhaltung reduziert.

Diese triviale Äquivalenz ist natürlich nicht allgemein gegeben. Wenn sich diese Masse anfänglich im Uhrzeigersinn um den Ursprung in der drehte$x$-$y$Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit$v$, verbunden mit dem Ursprung durch eine Zeichenfolge der Länge$r_\perp$, dann wäre auch sein Drehimpuls$\mathbf{L} = -mv r_\perp\hat{k}$; und wenn diese Saite wann durchtrennt wurde$\mathbf{r}=(0,r_\perp,0)$, würde sich die Masse wie in der Abbildung dargestellt über eine gerade Linie bewegen. Der Wegfall der Zentripetalkraft verändert eine sich periodisch entwickelnde$\mathbf{p}$auf einen konstanten Wert, hat aber keine Auswirkung auf$\mathbf{L}$, da er kein Drehmoment ausübt.

$^1$ _{Verstärkt durch die Lehrbuchtradition, Drehimpuls und Co. in den Kontext der gleichförmigen Kreisbewegung einzuführen, bevor die allgemeineren Vektorgrößen eingeführt werden.}

$^2$ _{Das Beispiel kann weitergeführt werden und wir können eine Kraft betrachten$\mathbf{F}=F\,\hat{\imath}$auf die Masse ausgeübt. Dies erhöht sich$v$, hat ein Drehmoment ungleich Null$-r_\perp F\hat{k}$und auch Änderungen$\mathbf{L}$, aber es findet keine richtige Drehung statt.}

Nehmen Sie das Erde- und das Mondsystem. Sie interagieren durch die Schwerkraft und rotieren um ihren Massenmittelpunkt. Sobald der Mond eingefangen wurde, hält ihn die Erhaltung des Drehimpulses in der Umlaufbahn.

Da Sie ein intuitives Verständnis des linearen Impulses haben, stellen Sie es sich als lineare Impulse vor: Der Mond bewegt sich mit dem Impuls p zur Zeit t (wobei p ein Vektor ist) und die Erde um -p, das gesamte System ruht in seinem Zentrum von Masse. Die Schwerkraft addiert zum Zeitpunkt t+dt einen dp_2-Vektor zum Mond und -dp_2 zu den Erdimpulsvektoren. Der lineare Impuls ist immer noch erhalten (Summe Erde Mond Null), aber die Vektoren haben die Richtung geändert. Die Definition des Drehimpulses als rxp (Vektoren) ergibt einen nützlichen Vektor, der ebenfalls erhalten bleibt (für das Binärsystem addiert man sich zu Null).

Hoffe das hilft.

Sie haben erfolgreich eine Intuition für die Impulserhaltung entwickelt. Da der Fall eines einzelnen Partikels ein sehr spezialisierter und idealer Fall ist (jedes Partikel kann vergrößert und in mehrere Teile aufgelöst werden), betrachten wir nur Gruppen von Partikeln:

Auch eine isolierte Gruppe von Partikeln treibt als Ganzes weiter in eine durchschnittliche Richtung, wenn sie nicht zu einer Änderung gezwungen wird.

Das ist die Erhaltung des linearen Impulses.

Vergessen Sie jetzt die (durchschnittliche) Nettorichtung des Ganzen und fangen Sie an, sich die Teile anzusehen. (dh zum Rahmen des Massenmittelpunkts gehen). Und nehmen Sie an, Sie haben feine Fäden in Ihren Händen, die an jedem der Teile befestigt sind, damit sie nicht wegzoomen. (Dies sind die inneren Kräfte). Dabei spielt es keine Rolle, wie schnell Sie an den Teilen ziehen oder gar nicht an den Teilen ziehen.

Nun, im Allgemeinen können Ihre Fäden die Drehungen der Teile um Sie herum nicht ändern. Sie können sie näher heranziehen, wodurch ihre Umlaufbahnen enger werden, aber dann werden sie schneller, wie Sie vielleicht beobachtet haben, wenn Sie sich jemals beim Eislaufen drehen oder versuchen, einen Purzelbaum zu machen.

Im Netz wird also etwas konserviert. Und Sie können sich dieses "Etwas" als die Fläche vorstellen, die von den Teilen pro Zeiteinheit überstrichen wird (funktioniert nur, wenn alle Bewegungen auf einer Ebene liegen - im Allgemeinen können Sie die Projektion von Bewegungen auf jede Ebene und die Fläche nehmen -Rate erhalten bleibt, da für einen erhaltenen Vektor alle seine Projektionen erhalten bleiben).

Solange es kein externes Drehmoment gibt - was bedeutet, dass keine externen Versuche unternommen werden, Ihre Partikelgruppe auf irgendeine Weise zu verdrehen, können die Teile in Ihrem System kollidieren und alles tun, und Sie können an Fäden an ihnen ziehen, wie auch immer, dieses "Etwas" wird konserviert bleiben.

Hoffe das hilft.

Warum bewegt sich ein Teilchen nicht von alleine im Kreis? Die Antwort ist ein Mangel an Zentripetalkraft, die sie in die Mitte des Kreises zieht.

Stellen Sie sich bei einer Gruppe von Partikeln das Partikel an einem Ende als Rotationspunkt vor. Der Rest der Teilchen behält aufgrund einer gewissen Zentripetalkraft seinen Drehimpuls / seine Rotation um dieses Teilchen bei. Diese Zentripetalkraft ist die Bindung, die die Teilchen zusammenhält.

Ein anderes Beispiel: Nehmen Sie einen Balken, dessen eines Ende auf den Boden genagelt ist (das ist der Drehpunkt). Wenn Sie auf das andere Ende des Balkens drücken, erhält der Balken einen Drehimpuls, indem er sich im Kreis bewegt. Wenn keine Widerstandskräfte angenommen werden, bleibt der Drehimpuls des Balkens erhalten. Der Grund ist, dass es eine Zentripetalkraft gibt, die einfach die Bindungskraft zwischen den Teilchen/Atomen des Strahls ist.