Inelastischer Stoß und Erhaltung von Impuls und Drehimpuls

Question

Inelastischer Stoß und Erhaltung von Impuls und Drehimpuls

bofjas

Ist es möglich, dass zwei Kugeln (a & b) eine unelastische Kollision haben, bei der SOWOHL der gesamte lineare Impuls als auch der Drehimpuls erhalten bleiben? Ich mache eine Physiksimulation einiger Kugeln, die sich wie Schwerkraft anziehen, und ein anfänglicher Nettodrehimpuls, der sie um ein Zentrum drehen lässt. Ich möchte unelastische Kollisionen haben, während ich den gleichen Gesamtlinear- und Winkelimpuls beibehalte.

Die Simulation erfolgt in 3 Dimensionen. Daher sind alle Geschwindigkeiten 3D-Vektoren. Ich kann die Geschwindigkeit der Teilchen nach einem völlig inelastischen Stoß berechnen, indem ich die folgenden Gleichungen auflöse $v$ :

M_{A} {\vec{v}}_{A_{0}} + M_{B} {\vec{v}}_{B_{0}} = \vec{v} (M_{A} + M_{B})

$m_a \vec v_{a_0} + m_b \vec v_{b_0} = \vec v (m_a + m_b)$ Dies gibt der Geschwindigkeit (v) null Freiheitsgrade, aber ich habe die Formel für die Erhaltung des Drehimpulses (um den Ursprung) nicht berücksichtigt:

M_{A} ({\vec{P}}_{A} \times {\vec{v}}_{A_{0}}) + M_{B} ({\vec{P}}_{B} \times {\vec{v}}_{B_{0}}) = M_{A} ({\vec{P}}_{A} \times {\vec{v}}_{A_{1}}) + M_{B} ({\vec{P}}_{B} \times {\vec{v}}_{B_{1}})

$m_a (\vec p_a \times \vec v_{a_0})+m_b (\vec p_b \times \vec v_{b_0}) = m_a (\vec p_a \times \vec v_{a_1})+m_b (\vec p_b \times \vec v_{b_1})$ Und für einen unelastischen Stoß

{\vec{v}}_{a_{1}} = {\vec{v}}_{b_{1}} = \vec{v}

$\vec v_{a_1} = \vec v_{b_1} = \vec v$

M_{A} ({\vec{P}}_{A} \times {\vec{v}}_{A_{0}}) + M_{B} ({\vec{P}}_{B} \times {\vec{v}}_{B_{0}}) = \vec{v} \times (M_{A} {\vec{P}}_{A} + M_{B} {\vec{P}}_{B})

$m_a (\vec p_a \times \vec v_{a_0})+m_b (\vec p_b \times \vec v_{b_0}) = \vec v \times (m_a \vec p_a+m_b \vec p_b)$ Wo

{\vec{p}}_{a}

$\vec p_a$ Und

{\vec{p}}_{b}

$\vec p_b$ ist der Positionsvektor der Kugeln. Das Problem dabei ist, dass die Kugeln auch einen Radius haben, also im Moment einer Kollision

p_{a}

$p_a$ Und

p_{b}

$p_b$ ist nicht gleich. Die einzige Möglichkeit, wie ich sehen könnte, dass sowohl der Drehimpuls als auch der lineare Impuls erhalten bleiben, besteht darin, dass sich der Radius ändert. Ist das überhaupt möglich?

Ferdinando Randisi

Der zweite Term der zweiten Gleichung ist meiner Meinung nach falsch. Sie können es entweder als die Geschwindigkeiten der beiden Massen ausdrücken (sie sind NICHT gleich

\vec{v}

$\vec v$ , die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts, da die beiden Massen beginnen, sich umeinander zu drehen)

m_{a} ({\vec{p}}_{a_{1}} \times {\vec{v}}_{a_{1}}) + m_{b} ({\vec{p}}_{b_{1}} \times {\vec{v}}_{b_{1}})

$m_a(\vec p_{a_1}\times\vec v_{a_1})+m_b(\vec p_{b_1}\times\vec v_{b_1})$ oder als Summe des Drehimpulses

M (\vec{p} \times \vec{v})

$M(\vec p \times \vec v)$ des Massenschwerpunkts mit dem Drehimpuls der beiden Massen im Bezugsrahmen des Massenschwerpunkts.

linksherum

Es wäre ein echtes Problem, wenn es nicht möglich wäre, da es nicht möglich ist, dass beide Erhaltungssätze verletzt werden ... es würde beweisen, dass inelastische Stöße überhaupt unmöglich sind!

bofjas

So

\vec{v}

$\vec v$ ist ungleich zu

{\vec{v}}_{a_{1}}

$\vec v_{a_1}$ Und

{\vec{v}}_{b_{1}}

$\vec v_{b_1}$ ?? Wenn ja, bin ich gründlich verwirrt. Nach einem völlig unelastischen Stoß wird die Geschwindigkeit der beiden Kugeln gleich sein, richtig?

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Inelastischer Stoß und Erhaltung von Impuls und Drehimpuls

Der zweite Term der zweiten Gleichung ist meiner Meinung nach falsch. Sie können es entweder als die Geschwindigkeiten der beiden Massen ausdrücken (sie sind NICHT gleich $\vec v$ , die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts, da die beiden Massen beginnen, sich umeinander zu drehen) $m_a(\vec p_{a_1}\times\vec v_{a_1})+m_b(\vec p_{b_1}\times\vec v_{b_1})$ oder als Summe des Drehimpulses $M(\vec p \times \vec v)$ des Massenschwerpunkts mit dem Drehimpuls der beiden Massen im Bezugsrahmen des Massenschwerpunkts.
Es wäre ein echtes Problem, wenn es nicht möglich wäre, da es nicht möglich ist, dass beide Erhaltungssätze verletzt werden ... es würde beweisen, dass inelastische Stöße überhaupt unmöglich sind!
So $\vec v$ ist ungleich zu $\vec v_{a_1}$ Und $\vec v_{b_1}$ ?? Wenn ja, bin ich gründlich verwirrt. Nach einem völlig unelastischen Stoß wird die Geschwindigkeit der beiden Kugeln gleich sein, richtig?

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen · Answer 1

"Ist es möglich, dass zwei Kugeln (a & b) eine unelastische Kollision haben, bei der sowohl der gesamte lineare als auch der Drehimpuls erhalten bleiben?"

Mehr als das. Es kann keine Kollision geben, bei der sie nicht erhalten bleiben.

Allerdings liegen Sie hier nicht ganz daneben. Lassen Sie uns darüber nachdenken, was wir meinen, wenn wir sagen, dass „Energie nicht erhalten bleibt“ bei einer inelastischen Kollision überhaupt.

Wir meinen nicht wirklich, dass Energie verschwindet, wir meinen, dass sie aus den kinetischen Termen der Masse verschwindet (dh $\frac{1}{2} m_a v^2_{a1}$ und seine Freunde) und endet in einigen anderen Formen, die wir in unserer Kinematik nicht berücksichtigen (hauptsächlich Schall und Wärme für Klassenzimmerdemos).

Ebenso könnte ein Teil des Drehimpulses aus den Massentermen wie verschwinden $\vec{v}_{a1} \times m_a \vec{p}_{a1}$ in einen Kanal, den Sie nicht aufschreiben: der innere Drehimpuls der Produktmasse(n).

Um ganz richtig zu sein, sollten Sie jeder Ihrer Massen ein Trägheitsmoment und eine Winkelgeschwindigkeitszahl zuordnen.

Nächste Frage für eine Simulation. Wann fast-aber-nicht-ganz-Punktmassen mit Trägheitsmomenten $I_{a,b}$ kollidieren und haften bleiben, was das Trägheitsmoment sollte $I$ der kombinierten Masse sein und warum?

Aber wenn jede der Massen eine perfekte Kugel ist und es keine Reibung gibt, würden dann alle Kontaktkräfte auf die Massen durch den Mittelpunkt der Kugel (den Massenmittelpunkt) gehen und den Spin unverändert lassen?
Nein. Im Schwerpunktsystem für die neue kombinierte Masse gibt es im Moment des Kontakts ein Drehmoment, das sich aus der Relativgeschwindigkeit und dem Offset (aus einem Quadrat bei Kollision) ergibt. Konstruktionsbedingt können diese Kräfte diese Größe nicht beeinflussen, sodass sie als innerer Drehimpuls der neuen Masse erhalten bleibt.
Ich weiß, was ich falsch gemacht habe. Ich dachte, dass ich die Reibung jedoch nicht in die Formel eingebaut habe $m_a \vec v_{a_0} + m_b \vec v_{b_0} = \vec v (m_a + m_b)$ kann nur wahr sein, WENN es Reibung gibt ODER es zu einem Frontalzusammenstoß kommt. Dies bedeutet, dass ich die Reibung aus der ersten Gleichung entfernen oder den internen Spin in die zweite einbeziehen sollte. Richtig?
Nun, "Reibung" ist hier ein ziemlich schlüpfriger Begriff. Sie brauchen einen Mechanismus, damit sie haften bleiben. Dies kann eine Kombination aus Reibung, Verformung und einfach Klebrigkeit sein.
Ich möchte eigentlich nicht, dass sie "kleben". Ich schätze, was ich wollte, war ein möglichst unelastischer Stoß ohne Reibung. Aber ohne Reibung, es sei denn, es kommt zu einem Frontalzusammenstoß, gleiten die Kugeln einfach voneinander ab. Mit anderen Worten, die erste Gleichung ist eine falsche Annahme meinerseits.
Ich verstehe. Dann, ja, ich denke, dass "Reibung" ein gutes Wort ist, aber es wird Ihre Kinematik viel schwieriger machen, weil es möglich wird, dass zwei sich schnell drehende Massen mit niedriger relativer Geschwindigkeit aufeinander treffen und mit höherer relativer Geschwindigkeit auseinander gehen. Stellen Sie immer sicher, dass Sie niemals die gesamte kinetische Energie gewinnen (einschließlich der kinetischen Rotationsenergie natürlich). Das wird einiges Nachdenken erfordern.
Ich denke, ich könnte tatsächlich davonkommen, die Reibung aus der ersten Gleichung herauszunehmen und nur Normalkräfte anzuwenden. Danke für die Hilfe. Ich schätze es sehr.

Danny Götze · Answer 2

Bei jedem Stoß bleiben die Größen Drehimpuls, Impuls und Gesamtenergie immer erhalten (unter Berücksichtigung des Gesamtsystems). Dies gilt auch für einen inelastischen Stoß, nur bleibt die kinetische Energie bei einem inelastischen Stoß nicht erhalten.

Ich stimme zu, es gibt einen Impulsaustausch zwischen den beiden kollidierenden Körpern, sodass der Gesamtimpuls beibehalten wird.

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Ferdinando Randisi

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