Gibt es eine nette Interpretation der Differenzierung von j(j+1)j(j+1)j(j+1), um 2j+12j+12j+1 zu erhalten?

Wenn J eine kontinuierliche Variable ist, dann Differenzieren der Funktion F ( J ) = J ( J + 1 ) gegenüber J gibt F ' ( J ) = 2 J + 1 . Natürlich habe ich den Buchstaben gewählt, um den quantenmechanischen Drehimpuls hervorzurufen, in diesem Fall für ganzzahlige oder halbzahlige Werte von J wir können diese beiden Ausdrücke als den Eigenwert des quadrierten Drehimpulses und der Multiplizität des Drehimpulses interpretieren.

Gibt es dazu eine schöne Interpretation? Als ich mir die automatisch generierte Liste mit „Fragen, auf die Sie möglicherweise bereits eine Antwort haben“ ansah, stieß ich auf einen Kommentar , der genau dieselbe Frage stellte.

Ein Grund zu glauben, dass es keine sehr spezielle Interpretation gibt, ist, dass, da die tatsächliche Variable diskret ist, die Ableitung F ' würde wirklich eine Annäherung an eine geteilte Differenz darstellen, und die relevante Differenz für eine Einheit ändern J nicht unbedingt gleich der Ableitung, es sei denn, Sie bewerten die Ableitung an der richtigen Stelle.

Mir scheint, dass es noch einen zweiten Grund gibt, hier nichts Besonderes zu erwarten, nämlich dass die Korrespondenz nur in drei Dimensionen zu funktionieren scheint. Für einen Rotor in D Dimensionen ist der Eigenwert des quadrierten Drehimpulsoperators J ( J + D − 2 ) . Ich weiß nicht, was die Vielheit von Zuständen im Allgemeinen ist, aber ich nehme an, es ist ein Ordnungspolynom D − 2 . Bsp. für D = 2 , die Multiplizität ist 2 ( M = ± J ), was nicht der Ableitung von entspricht J ( J + D − 2 ) = J 2 . Andererseits halte ich es für möglich, dass es eine nette Interpretation gibt, und die nette Interpretation sagt uns, dass drei Dimensionen etwas Besonderes sind.

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1) Falls es nützlich ist: die Multiplizität in N Winkelmaße (damit für unsere 3D-Welt N = 2 ) ist gegeben durch ( J + N − 2 ) ! J ! ( N − 1 ) ! ( 2 J + N − 1 ) . Im Allgemeinen ist dies ein Polynom in J der Ordnung N − 1 . 2) Eine mögliche Interpretation kann aus dem mikrokanonischen Ensemble kommen (z. B. für einen starren Rotor, wo die obige Multiplizität die Anzahl der Mikrozustände ist). Ω , deren Ableitung die Dichte der Mikrozustände ist).
Ich bin mir zu 99% sicher, dass das nur Zufall ist.
@AccidentalFourierTransform: Die obige Multiplizität ist die Anzahl der Mikrozustände Ω, deren Ableitung die Dichte der Mikrozustände ist. Sie haben eine Funktion und ihre Ableitung. Ist die Funktion, von der Sie sprechen, nicht die Differenzierung der Multiplizität, während im Thema dieser Frage die Multiplizität das ist, was Sie nach der Differenzierung erhalten? Oder vielleicht verstehe ich dich einfach nicht.

Antworten (1)

Die Anzahl der sphärischen Harmonischen des Gewichts ℓ An S D wird von gegeben

N ( D , ℓ ) = D + 2 ℓ − 1 D − 1 ( D + ℓ − 2 ℓ )
Ferner ist der Eigenwert dieser sphärischen Harmonischen − Δ ( D , ℓ ) = ℓ ( ℓ + D − 1 ) .

Beachten Sie insbesondere, dass z D = 2 (was bei dreidimensionalen Drehimpulsen der Fall ist, finden wir

N ( 2 , ℓ ) = 2 ℓ + 1   , − Δ ( 2 , ℓ ) = ℓ ( ℓ + 1 )   .
In diesem speziellen Fall stimmt das − ∂ ℓ Δ ( 2 , ℓ ) = N ( 2 , ℓ ) wie Sie beobachtet haben. Ich habe die folgende Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen bemerkt, D ≥ 3 ,
∂ ℓ D − 3 N ( D , ℓ ) = − Δ ( D , ℓ ) + D 2 4 − 7 D 12 + 1 2   .
Ich sehe jedoch keine Immobilien von Interesse. Ich glaube, die Formel ist reiner Zufall.

PS - Dies ist ein Fall, in dem ich gerne bewiesen werden würde, dass ich falsch liege!

Dies liest sich für mich wie eine Umformulierung des Arguments, das ich im vierten Absatz der Frage vorgebracht habe. Es gibt einige hinzugefügte Details, aber die meisten dieser hinzugefügten Details wurden bereits im Kommentar von AccidentalFourierTransform ausgearbeitet. Der Grund, warum ich dies als Frage gepostet und ein Kopfgeld angeboten habe, war, dass ich hoffte, jemand könnte dies aus einem anderen Blickwinkel angehen.
Vielleicht auch interessant: Wenn wir anstelle einer Ableitung eine endliche Differenz verwenden, haben wir Δ ℓ D N = 0 , Δ ℓ D − 1 N = 2 , Δ ℓ D − 2 N = 2 D + 2 ℓ − 3 , Δ ℓ D − 3 N = ( D + ℓ − 2 ) 2 , usw.
Gibt es eine nette Interpretation der Differenzierung von j(j+1)j(j+1)j(j+1), um 2j+12j+12j+1 zu erhalten?
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