Gäbe es in einem Universum mit vier Raumdimensionen Elementarteilchen mit intrinsischem isoklinem Spin?

Eine Skizze, wie Spin in der Teilchenphysik entsteht.

Es gibt ein Theorem in der Quantenmechanik, das Coleman-Mandula-Theorem genannt wird, das Ihnen sagt, dass unter sehr vernünftigen Annahmen die allgemeinste Gruppe von Symmetrien einer Quantentheorie das direkte Produkt der Poincaré-Gruppe und einer kompakten zusammenhängenden Lie-Gruppe (genannt die Gruppe der inneren Symmetrien ).

Wie üblich können wir das Spektrum der Theorie in irreduzible Darstellungen der Symmetriegruppe gliedern. Da es sich um ein direktes Produkt handelt, können wir Poincaré und interne Symmetrien separat diskutieren. Letzteres führt zu "Ladungs"-Quantenzahlen wie Isospin , Farbe usw., die die Eigenwerte eines maximalen Torus der internen Gruppe sind.

Ersteres ist der interessanteste Teil. Die Poincaré-Gruppe ist ein halbdirektes Produkt der Lorentz-Gruppe und der Übersetzungsgruppe ( weitere Einzelheiten finden Sie in diesem PSE-Beitrag ). Eine vollständige Klassifikation ihrer ( projektiven , einheitlichen ) Repräsentationen erhält man über die Frobenius-Wigner-Methode der induzierten Repräsentationen . Diese Methode geht wie folgt vor:

1. Wir diagonalisieren zunächst den Normalteiler ; Da wir abelsch sind , führen wir nur ein$d$willkürliche reale Parameter, was zu dem führt, was wir gewöhnlich den Impuls nennen $p=(p_0,p_1,\dots,p_{d-1})\in\mathbb R^{1,d-1}$.

2. Als nächstes brechen wir auf$\mathbb R^{1,d-1}$in Verteiler wo$\mathrm{SO}(1,d-1)$wirkt transitiv . Das heißt, wir identifizieren alle inäquivalenten Bahnen von Impulsen unter der Lorentz-Gruppe: Dies sind Vakuumzustände$p\equiv 0$; massive Staaten$p^2>0$; Masselose Zustände$p^2\equiv0$; und tachyonische Zustände$p^2<0$.

3. Wir wählen für jede Klasse einen Vertreter aus. Von nun an konzentrieren wir uns nur noch auf massive Zustände. Ein Vertreter dieser Staaten ist$p=(\sqrt{p^2},0,\dots,0)$. Die (Wigner’sche) kleine Gruppe eines solchen Repräsentanten ist definiert als die Untergruppe der Lorentzgruppe, die ihn invariant lässt:$W\equiv\{R\in\mathrm{SO}(1,d-1)\,\mid\, Rp=p\}$, was leicht als die Gruppe der Drehungen zu sehen ist ,$W\cong \mathrm{SO}(d-1)$.

4. Wählen Sie eine beliebige (einheitliche, projektive) Darstellung der kleinen Gruppe,$\lambda\in\mathrm{Rep}(W)$. Hier haben wir das Glück, dass die orthogonale Gruppe einfach ist ; andernfalls müssen wir zu Schritt 1 zurückkehren und eine Darstellung von induzieren$W$aus seiner normalen Untergruppe. (Genau das passiert bei masselosen Umlaufbahnen ¹ ).

5. Die Darstellung von Poincaré wird schließlich durch das Paar gegeben$(p,\lambda)$. Hier,$p=(p_0,p_1,\dots,p_{d-1})$ist eine Willkür$d$-Tupel reeller Zahlen und$\lambda$ist eine endlichdimensionale unitäre projektive Darstellung der kleinen Gruppe von$p$, nämlich die orthogonale Gruppe$\mathrm{SO}(d-1)$.

In$d=3+1$, ist die kleine Gruppe$\mathrm{SO}(3)$; seine projektiven Darstellungen sind die Standarddarstellungen seiner universellen Hülle,$\mathrm{SU}(2)$. Die Darstellungen der letzteren sind aus der Physik bekannt : Sie werden mit einer halben ganzen Zahl bezeichnet$j$, Spin genannt . Daher sind die Zustände einer relativistischen Quantentheorie in$d=3+1$Dimensionen sind mit folgenden Nummern gekennzeichnet: Viererimpulse, Spin, interne Ladungen. Das passt gut zu unserer Intuition/Erfahrung.

In$d\ge4+1$, ist die kleine Gruppe$\mathrm{SO}(d-1)$; seine projektiven Darstellungen sind die Standarddarstellungen ² seiner universellen Hülle ,$\mathrm{Spin}(d-1)$. Die Darstellungen der letzteren sind nicht so häufig wie die von$\mathrm{SU}(2)$in Physik. Wir behaupten ohne Beweis, dass die Darstellungen dieser Gruppe in einer Eins-zu-Eins-Übereinstimmung mit den sogenannten Höchstgewichten der Algebra stehen (vgl. Höchstgewichtsdarstellungen ). Diese können mit gekennzeichnet werden$r=\mathrm{rank}(\mathfrak{so}(d-1))=\lfloor(d-1)/2\rfloor$ganze Zahlen$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_r$, bekannt als die Dynkin-Etiketten der Repräsentation (die als der Koeffizient des höchsten Gewichts in der Basis von Grundgewichten definiert sind, wobei dies die Basis ist, die dual zu der von einfachen Wurzeln ist ). Für$d=3+1$, wir haben ein einziges Label, das wir mit dem Spin identifizieren,$\lambda_1=2j$. Für$d\ge4+1$, wir haben mehrere Bezeichnungen, also macht es keinen Sinn, vom Spin eines Teilchens zu sprechen ( vielmehr müssten wir von seiner Spinquantenzahl s sprechen ; aber das wäre nicht sehr genau, weil die$\lambda_i$sind im Gegensatz zu den keine Eigenwerte eines Casimir$d=3+1$Fall).

Zum Beispiel im$d=4+1$, wir haben zwei "kleine Gruppen"-Quantenzahlen,$\lambda_1,\lambda_2$. Halbklassisch beschreiben sie die möglichen Rotationszustände in$d=4$räumliche Dimensionen, wie im OP. In Quantenbegriffen ist es nicht sinnvoll, dies als echte Rotation zu betrachten, aber die Bezeichnungen beschreiben immer noch, wie sich das Teilchen unter der Einwirkung von verhält$\mathrm{SO}(4)$, das heißt unter räumlichen Drehungen. Dies ist schließlich Quantenmechanik, also haben klassische Konzepte keine perfekte Übersetzung, aber sie sind bis zu einem gewissen Grad vorhanden.

Abschließend sei darauf hingewiesen$\mathrm{Spin}(d-1)$hat ein nichttriviales Zentrum . Insbesondere gibt es immer eine$\mathbb Z_2\subseteq Z(\mathrm{Spin}(d-1))$Untergruppe, deren Quotient uns wieder auf die zurückführt$\mathrm{SO}(d-1)$Gruppe:

Die Transformation eines Staates unter diesem$\mathbb Z_2$Untergruppe sagt uns, ob es sich um eine wahre Darstellung handelt$\mathrm{SO}(d-1)$, oder zu einer projektiven Darstellung. Mit anderen Worten, es sagt uns, ob es sich um ein Boson oder ein Fermion handelt. In Bezug auf die Dynkin-Etiketten, wenn$d$gerade ist, ist der Zustand ein Boson, wenn$\lambda_r$ist gerade, und ein Fermion, wenn es ungerade ist; und wenn$d$ungerade ist, ist der Zustand ein Boson, wenn$\lambda_{r}+\lambda_{r-1}$gerade ist, und ein Fermion, wenn ungerade. (Vergleiche dies mit$\lambda_1=2j$in dem$d=3+1$Fall). Daher unterscheiden die letzten beiden Dynkin-Etiketten bis zu einem gewissen Grad Bosonen und Fermionen; Sie spielen die Rolle von$j\ \mathrm{mod}\ 2\mathbb Z$in$d\ge4+1$.

^{1: Die kleine Gruppe eines masselosen Zustands ist die sogenannte Euklidische Gruppe $\mathrm{ISO}(d-2):=\mathrm{SO}(d-2)\ltimes \mathbb R^{d-2}$, was eindeutig nicht einfach ist. Daher können seine Darstellungen aus einer Darstellung seiner normalen Untergruppe induziert werden$\mathbb R^{d-2}$. Eine nicht-triviale Darstellung dieser Gruppe führt zu einer unendlichdimensionalen Darstellung von$\mathrm{ISO}(d-2)$, die als unendliche (oder kontinuierliche) Spindarstellung bezeichnet wird . Diese haben sich als pathologisch erwiesen (z. B. verletzen sie die Kausalität, vgl. Abbott ). Daher müssen wir uns auf triviale Darstellungen von beschränken$\mathbb R^{d-2}$, dessen kleine Gruppe ist$\mathrm{SO}(d-2)$selbst, was einfach ist. Seine (einheitlichen, projektiven) Darstellungen induzieren eine Darstellung der Poincaré-Gruppe, bekannt als Helizitätsdarstellungen , die masselose Teilchen wie das Photon beschreiben.}

^{2: Wie bereits erwähnt, ist die orthogonale Gruppe einfach, und daher hat ihre Algebra keine nicht-trivialen zentralen Erweiterungen ; somit sind projektive Darstellungen rein topologischen Ursprungs, vgl.$\pi_1(\mathrm{SO}(n))=\mathbb Z_2$.}

Gruppentheoretisch werden isokline Rotationen in 4 Raumdimensionen durch die Symmetriegruppe SO(4) beschrieben. Es ist eine Gruppe, die durch orthogonale 4x4- Matrizen mit Einheitsdeterminanten dargestellt werden kann.

Diese Gruppe hat zwei Untergruppen von linken und rechten isoklinen Rotationen. Sie sind jeweils isomorph zu 3-Sphären,$S^3$, die eine zu SU(2) isomorphe Gruppe hat, dh klassischen Spin. Natürlich wären die isokline Rechtsrotation und die isokline Linksrotation genauso wie die Linksrotation und die Rechtsrotation im 3D-Unterraum.

Da Sie jedoch nach dem Eigenspin fragen, bedeutet diese Eigenschaft meines Wissens nicht, dass sich die Elementarteilchen so verhalten würden, als ob und nur wenn sie sich in einer isoklinen Rotation befinden. Tatsächlich würden sie sich im dreidimensionalen Unterraum immer noch so verhalten, als befänden sie sich in einfacher Rotation. Dies könnte an der Projektion einer isoklinen Rotation oder einer generischen Doppelrotation liegen, möglicherweise weil der intrinsische Spin eine andere Symmetrie als SU (2) hatte, oder einfach an der guten alten einfachen Rotation (ähnlich der Projektion einer 3D-Rotation in eine 2D-Ebene). ) aufgrund der intrinsischen SU(2)-Symmetrie, wie wir sie kennen. Weil$S^3_L \times S^3_R$ist nicht isomorph zu SO(4).