Mathematischer Zusammenhang zwischen Fluchtgeschwindigkeit und Umlaufgeschwindigkeit

Question

Mathematischer Zusammenhang zwischen Fluchtgeschwindigkeit und Umlaufgeschwindigkeit

gen-ℤ bereit zu sterben

Ich bin ein Gymnasiast in AP Physik C. Wir befinden uns derzeit auf unserer Gravitationseinheit, und eine meiner Hausaufgabenfragen lautet wie folgt:

Zeigen Sie, dass die Fluchtgeschwindigkeit $v_e$ , von einem Planeten hängt mit der Geschwindigkeit einer kreisförmigen Umlaufbahn um die Oberfläche des Planeten zusammen, $v_c$ , nach folgendem Gesetz: $v_e = \sqrt 2 v_c$ .

Ich weiß, dass beim Übergang von einem Orbitalzustand in einen unbegrenzten Zustand keine externe Arbeit am Objekt-Planeten-System erfolgen sollte, daher sollte ich in der Lage sein, die Energieerhaltung zu nutzen:

\begin{aligned} E_{1} & = E_{2} \\ K_{C} + U_{G C} & = K_{e} \end{aligned}

$\begin{align} E_1 &= E_2 \\ K_c + U_{Gc} &= K_e \end{align}$

Ich beschloss, den Radius der begrenzten Umlaufbahn gleich zu lassen $r_c$ , die Masse des Objekts gleich $m$ , und die Masse des Planeten gleich $M$ .

\frac{1}{2} M v_{C}^{2} - \frac{G M M}{R_{C}} = \frac{1}{2} M v_{e}^{2}

$\frac{1}{2}mv_c^2 - \frac{GmM}{r_c} = \frac{1}{2}mv_e^2$

Wie erwartet, die Masse $m$ des Objekts selbst ist irrelevant:

\frac{1}{2} v_{C}^{2} - \frac{G M}{R_{C}} = \frac{1}{2} v_{e}^{2}

$\frac{1}{2}v_c^2 - \frac{GM}{r_c} = \frac{1}{2}v_e^2$

Hier bleibe ich sofort hängen, also zu bekommen $M$ Und $r_c$ Außerhalb der Gleichung füge ich eine zweite Gleichung hinzu, die die Schwerkraft interpretiert, während sich das Objekt in einer gebundenen kreisförmigen Umlaufbahn befindet, als Zentripetalkraft:

\begin{aligned} F_{C} = M A_{C} & = F_{G} \\ M \frac{v_{C}^{2}}{R_{C}} & = \frac{G M M}{R_{C}^{2}} \\ v_{C}^{2} & = \frac{G M}{R_{C}} \end{aligned}

$\begin{align} F_c = ma_c &= F_G \\ m\frac{v_c^2}{r_c} &= \frac{GmM}{r_c^2} \\ v_c^2 &= \frac{GM}{r_c} \end{align}$

Wie wundervoll! Ich finde. Ich sollte in der Lage sein, dies wieder einzusetzen und zu lösen $v_e = \sqrt 2 v_c$ . . . .

\begin{aligned} \frac{1}{2} v_{C}^{2} - v_{C}^{2} & = \frac{1}{2} v_{e}^{2} \\ - \frac{1}{2} v_{C}^{2} & = \frac{1}{2} v_{e}^{2} \\ - v_{C}^{2} & = v_{e}^{2} \\ \sqrt{- v_{C}^{2}} & = v_{e} \\ \sqrt{- 1} v_{C} & = v_{e} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{2}v_c^2 - v_c^2 &= \frac{1}{2}v_e^2 \\ -\frac{1}{2}v_c^2 &= \frac{1}{2}v_e^2 \\ -v_c^2 &= v_e^2 \\ \sqrt{-v_c^2} &= v_e \\ \sqrt{-1}v_c &= v_e \end{align}$

Na, ist das nicht herrlich? Die klassische nicht-echte Antwort. Mein erster Verdacht ist, dass ich einen Rechenfehler gemacht habe, aber ich kann keinen finden. Jetzt denke ich, dass mein wahrscheinlichster Fehler die Vorzeichen der Kräfte beinhalten würde, da ich keine Einheitsvektoren verwende, um Richtungen zu verfolgen. (Mein Formeldiagramm lautet „ $a_c = v^2/r = \omega^2r$ " Und " $\left\vert \vec{F}_G \right\vert = Gm_1m_2/r^2$ .“)

Hat jemand eine Idee, welche Fehler ich gemacht habe oder welche Schritte ich nicht ausgeführt habe? Wenn Sie könnten, geben Sie bitte ein paar Gleichungszeilen an, die Ihren Denkprozess und die von Ihnen vorgenommenen Ersetzungen zeigen.

David z

Fürs Protokoll: Leute, die uns bitten, ihre Frage nicht als nicht zum Thema gehörend zu kennzeichnen, sind normalerweise ein großes Warnsignal dafür, dass die Frage tatsächlich nicht zum Thema gehört. Glücklicherweise scheint dies eine der Ausnahmen zu sein. (Aber es ist etwas, das Sie für die Zukunft im Hinterkopf behalten sollten, dass es mehr schadet als hilft, wenn Sie darum bitten, dass Ihre Frage nicht zurückgestellt wird.)

Dirakologie

Ich verstehe nicht wirklich, was Sie in den ersten Gleichungen tun. Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die Sie benötigen, um das Partikel (von der Oberfläche) so zu werfen, dass es mit einer Geschwindigkeit von Null unendlich wird. Die Energieerhaltung lautet in diesem Fall

m v_{e}^{2} / 2 - G m M / r_{c}^{2} = 0

$mv_e^2/2-GmM/r_c^2=0$ .

Antworten (2)

Mathematischer Zusammenhang zwischen Fluchtgeschwindigkeit und Umlaufgeschwindigkeit

Fürs Protokoll: Leute, die uns bitten, ihre Frage nicht als nicht zum Thema gehörend zu kennzeichnen, sind normalerweise ein großes Warnsignal dafür, dass die Frage tatsächlich nicht zum Thema gehört. Glücklicherweise scheint dies eine der Ausnahmen zu sein. (Aber es ist etwas, das Sie für die Zukunft im Hinterkopf behalten sollten, dass es mehr schadet als hilft, wenn Sie darum bitten, dass Ihre Frage nicht zurückgestellt wird.)
Ich verstehe nicht wirklich, was Sie in den ersten Gleichungen tun. Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die Sie benötigen, um das Partikel (von der Oberfläche) so zu werfen, dass es mit einer Geschwindigkeit von Null unendlich wird. Die Energieerhaltung lautet in diesem Fall $mv_e^2/2-GmM/r_c^2=0$ .

Barden · Answer 1

Die Fluchtgeschwindigkeit kann durch die Gleichung gefunden werden $E= K+ U = 0$ So $K=-U$ am Ende erhalten Sie diese

v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

$v_e =\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ Um die Umlaufgeschwindigkeit zu finden, verwenden Sie dies

\frac{G M M}{R} = \frac{M v^{2}}{R}

$\frac{GmM}{R}=\frac{mv^2}{R}$ So

v_{C} = \sqrt{\frac{G M}{R}}

$v_c=\sqrt{\frac{GM}{R}}$ so ist es einfach, die Beziehung zwischen den beiden zu bemerken

Ich habe das drei Tage lang versucht und deine Erklärung hat es zum Laufen gebracht!

Michael · Answer 2

Michael

Es gibt zwei Probleme in Ihrer Berechnung. Zuerst der Energiezustand für den Fluchtfall. Sie verwenden die kinetische Energie am Anfang des Fluchtwegs und die potentielle Energie im Endzustand. Sie müssen beide im Endzustand sein, und im Endzustand hat das Objekt eine Geschwindigkeit von 0. Es gibt also nur potentielle Energie. Das andere Problem ist das Vorzeichen der potentiellen Energie. Die potentielle Energie wächst mit zunehmender Entfernung. An der Erdoberfläche gibt es also keine potentielle Energie, und wenn sich das Objekt erhebt, nimmt diese potentielle Energie zu. Diese 2 Änderungen geben Ihnen das richtige Ergebnis.

gen-ℤ bereit zu sterben

Okay, vielen Dank! Ich werde das gleich mal ausprobieren und schauen, ob ich das Problem lösen kann. Ich schätze die Hilfe.

gen-ℤ bereit zu sterben

Ich stimmte, aber ich habe immer noch einige Schwierigkeiten. Hier ist, was ich habe:

gen-ℤ bereit zu sterben

F_{G} = F_{C}

$F_G=F_c$

\frac{G M M}{R^{2}} = \frac{M v_{C}^{2}}{R}

$\frac{GMm}{R^2}=\frac{mv_c^2}{R}$

\frac{G M}{R} = v_{C}^{2}

$\frac{GM}{R}=v_c^2$ Wo

M

$M$ ist die Masse des Planeten und

R

$R$ ist der Radius des Planeten

gen-ℤ bereit zu sterben

E_{S u R F A C e} = E_{u N B Ö u N D}

$E_{surface}=E_{unbound}$

K + U_{G} = 0

$K+U_G=0$

\frac{1}{2} M v_{C}^{2} + \frac{1}{2} M v_{e}^{2} - \frac{G M M}{R} = 0

$\frac{1}{2}mv_c^2+\frac{1}{2}mv_e^2-\frac{GMm}{R}=0$

\frac{1}{2} (v_{C}^{2} + v_{e}^{2}) = v_{C}^{2}

$\frac{1}{2}\left( v_c^2+v_e^2\right)=v_c^2$

v_{C}^{2} + v_{e}^{2} = 2 v_{C}^{2}

$v_c^2+v_e^2=2v_c^2$

v_{e}^{2} = v_{C}^{2}

$v_e^2=v_c^2$

gen-ℤ bereit zu sterben

Irgendwelche Ideen, wo es von hier aus weitergeht?

Michael

Die linke Seite Ihrer zweiten Gleichung ist hier das Problem. Du hast

K_{c} - U_{G c}

$K_{c}-U_{Gc}$ . Für das entkommene Objekt

K_{c} = 0

$K_c=0$ Und

U

$U$ ist positiv. Diese Gleichung wird also

U_{G c} = K_{e}

$U_{Gc}=K_e$ . Der Rest Ihrer Arbeit folgt bis zum letzten Satz von Gleichungen, der eine Modifikation der zweiten Gleichung ist. Wenn Sie diese ändern, sehen Sie Ihre Antwort.

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David z

Dirakologie

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Barden

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Michael

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Michael

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