Warum erhalten wir zwei verschiedene Antworten für die Fluchtgeschwindigkeit, wenn wir verschiedene Gesetze anwenden, um sie zu berechnen?

Question

Warum erhalten wir zwei verschiedene Antworten für die Fluchtgeschwindigkeit, wenn wir verschiedene Gesetze anwenden, um sie zu berechnen?

Aaryan Dewan

Um die Fluchtgeschwindigkeit zu messen, wenn ich die Gleichung verwende -

\frac{- G M M}{R^{2}} = \frac{v . D v}{D R}

$\frac{-GMm}{r^2}=\frac{v.dv}{dr}$

und ich habe meine endgültige Distanz zu sein $\infty$ , dann bekomme ich die Antwort,

\begin{matrix} (1) & u = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} . \end{matrix}

$u = \sqrt\frac{2GM}{R} \;. \tag{1}$ Was ziemlich offensichtlich ist!

Aber wenn ich die Gleichungen verwende -

U_{\infty} - U_{ich} = \frac{G M M}{R}

$U_{\infty} - U_i = \frac{GMm}{R}$

Und

K_{\infty} + U_{\infty} = K_{R} + U_{R}

$K_{\infty}+U_{\infty} = K_R+U_R$

Wo, $K_R$ Und $U_R$ sind kinetische Energien bzw. potentielle Energien bei R, wobei R der Radius der Erde ist.

Nun, in diesen beiden Gleichungen, wenn ich sage $U_{\infty} = 0$ , dann bekomme ich,

\begin{matrix} (3) & K_{\infty} = K_{R} - \frac{G M M}{R} \end{matrix}

$K_{\infty} = K_R - \frac{GMm}{R}\tag{3}$

Und da, $K_{\infty}$ positiv und nicht null ist, bekommen wir das am Ende

\begin{matrix} (2) & u > \sqrt{\frac{2 G M}{R}} \end{matrix}

$u > \sqrt\frac{2GM}{R} \tag{2}$

Das heißt, wenn ich das Objekt ins Unendliche bringen möchte, muss die Geschwindigkeit (1) sein, aber wenn ich seine potenzielle Endenergie 0 machen möchte, muss seine Geschwindigkeit größer als (1) sein. Außerdem kann (1) nicht in (3) verwendet werden, da dies das Finale bedeuten würde $KE$ ist 0, was offensichtlich nicht der Fall ist!

Was erzeugt diesen Scherz? Bitte sagen Sie mir, wo ich falsch liege?

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Ich habe viel von Ihrem LaTeX überarbeitet. Bitte überprüfen Sie, ob ich nichts vermasselt habe, aber sehen Sie sich auch an, was ich getan habe. Sie können die Begrenzung verwenden $$, um Gleichungen zu blocken, die gesamte Gleichung in einen einzigen Satz von Begrenzungszeichen einfügen und verwenden, \tagum Gleichungsnummern festzulegen.

Aaryan Dewan

@dmkee danke! Eigentlich weiß ich nicht, wie man es effektiv eintippt! Ich hoffe, dass ich es beim nächsten Mal besser mache.

Antworten (3)

Warum erhalten wir zwei verschiedene Antworten für die Fluchtgeschwindigkeit, wenn wir verschiedene Gesetze anwenden, um sie zu berechnen?

Ich habe viel von Ihrem LaTeX überarbeitet. Bitte überprüfen Sie, ob ich nichts vermasselt habe, aber sehen Sie sich auch an, was ich getan habe. Sie können die Begrenzung verwenden $$, um Gleichungen zu blocken, die gesamte Gleichung in einen einzigen Satz von Begrenzungszeichen einfügen und verwenden, \tagum Gleichungsnummern festzulegen.
@dmkee danke! Eigentlich weiß ich nicht, wie man es effektiv eintippt! Ich hoffe, dass ich es beim nächsten Mal besser mache.

Physiker137 · Answer 1

Die Fluchtgeschwindigkeit ist die minimal mögliche Geschwindigkeit, mit der sie einem Gravitationsschacht entkommt. Wir haben aus dem Energieerhaltungssatz:

E = K + U = \frac{1}{2} M v^{2} - \frac{G M M}{R}

$E = K+U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$

Betrachten wir Anfangs- und Endenergie als $E_1$ Und $E_2$ . Um zu entkommen, müssen Sie sicherstellen, dass Ihre Geschwindigkeit die potenzielle Energie vollständig überstimmt. Die maximal mögliche potentielle Energie ist gegeben $U = 0$ , das passiert a $r\to\infty$ . In allen anderen Fällen haben wir $U < 0$ , und somit $U = 0$ ist maximal. Wenn Ihre kinetische Energie größer als dieses Maximum ist, sind Sie entkommen. Stellen wir das also sicher. Angenommen, Ihre Anfangsenergie ist:

E_{1} = K_{1} + U_{1} = K_{2} + U_{2} = E_{2}

$E_1 = K_1 + U_1 = K_2 + U_2 = E_2$

Wir haben maximal $U_2 = 0$ , Dann:

K_{1} + U_{1} = K_{2} ⟹ K_{1} = K_{2} - U_{1}

$K_1 + U_1 = K_2 \quad\implies\quad K_1 = K_2 - U_1$

Also, wenn Sie kinetische Energie haben $K_1$ , du entkommst. Wie Sie darauf hingewiesen haben, passieren die Dinge am Ende wie folgt $r\to\infty$ und deshalb $E_2 = E_\infty = K_\infty + U_\infty$ . Daher: $K_2 = K_\infty$ . Das heißt, das wird Ihre kinetische Energie im Unendlichen sein.

K_{1} = K_{\infty} - U_{1} ⟹ \frac{1}{2} M v^{2} = \frac{1}{2} M v_{\infty}^{2} + \frac{G M M}{R_{1}}

$K_1 = K_\infty - U_1\quad\implies\quad \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} mv_\infty^2 + \frac{GMm}{r_1}$

Die Geschwindigkeit, der Sie entkommen müssen, damit Sie im Unendlichen Geschwindigkeit haben $v_\infty$ Ist:

v = \sqrt{v_{\infty}^{2} + \frac{2 G M}{R_{1}}}

$v = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2GM}{r_1}}$

Bei $v_\infty = 0$ , erhalten Sie die Mindestgeschwindigkeit zurück, die Sie benötigen, um zu entkommen. Da es sich um ein Minimum handelt, ist Ihre Geschwindigkeit im Unendlichen Null. Sobald Sie im Unendlichen ankommen, egal ob Sie Geschwindigkeit haben oder nicht, entkommen Sie, und dann ist Ihre potentielle Energie Null.

Danke für die Antwort! Was Sie also sagen, ist, dass das endgültige KE und PE 0 ist und da wir wissen, dass das anfängliche PE negativ ist, muss unser anfängliches KE irgendwie unsere anfängliche potenzielle Energie ausgleichen, also muss die Gesamtenergie unserer Rakete zu jedem Zeitpunkt sein null! ?
Ich sage das, wenn Sie Energie haben $E\ge 0$ , du entkommst. Insbesondere wenn $E = 0$ , dann entkommst du und im Unendlichen ist deine kinetische Energie (und damit Geschwindigkeit) Null. Die Fluchtgeschwindigkeit ist also genau wann $E = 0$ , da die Fluchtgeschwindigkeit die Mindestgeschwindigkeit ist, die zum Entkommen benötigt wird. Jede höhere Geschwindigkeit ist ebenfalls geeignet. =).

Suprabha · Answer 2

Wir definieren die Fluchtgeschwindigkeit als die minimale Geschwindigkeit, die erforderlich ist, um die Erdanziehung gerade zu überwinden. Es wird also angenommen, dass die kinetische Energie im Unendlichen 0 ist. Somit liefern beide Gleichungen richtige Antworten. Obwohl wir den Luftwiderstand und andere Kräfte vernachlässigen. Also in praktischen Fällen die Anfangsgeschwindigkeit, u >(2GM /R)^(1/2). Aber theoretisch ist die Fluchtgeschwindigkeit (2GM/R)^(1/2)... aus beiden Gleichungen.

Aaryan Dewan · Answer 3

Es hängt also alles von der Anfangsenergie des Systems ab. Wenn das endgültige KE und PE 0 sind, wie die akzeptierte Antwort Ihnen sagt, müssen Sie den genauen Wert der Fluchtgeschwindigkeit verwenden, damit er sich genau mit aufhebt $\frac{-GMm}{R}$ . Danach wirst du im Unendlichen zur Ruhe kommen.

Aber wenn Sie etwas mehr Anfangsenergie erhalten, indem Sie Ihren anfänglichen KE erhöhen, dann erreichen Sie unendlich, Ihre potenzielle Endenergie wird 0, aber Sie werden niemals zur Ruhe kommen.

Es gibt also keine mathematische Inkonsistenz in der Frage. Ich war einfach nicht in der Lage zu verstehen, welche Ergebnisse ich erhalte.

Du bist immer noch verwirrt. Fluchtgeschwindigkeit bedeutet die minimale Geschwindigkeit, um ins Unendliche zu gelangen. Das Festlegen der richtigen Bedingungen für die Interpretation, wie ein physikalisches Problem gelöst werden kann, ist Teil des Verständnisses der Physik oder vielleicht der Logik oder der Wörter.
Können Sie bitte darauf hinweisen, wo ich in der Antwort, die ich gegeben habe, falsch liege?
Fluchtgeschwindigkeit bedeutet Nullgeschwindigkeit im Unendlichen. Ihre Antwort auf mathematische Inkonsistenz macht keinen Unterschied. Akzeptiere einfach, dass die richtige Antwort, wie du sie anscheinend gewählt hast, richtig ist. Ohne wenn und aber.
Danke @BobBee! Aber können Sie mir bitte sagen, dass, wenn ich mein Objekt mit einer Anfangsgeschwindigkeit größer als die Fluchtgeschwindigkeit schiebe, seine Endgeschwindigkeit im Unendlichen nicht Null sein wird, wie ich darauf hingewiesen habe?

Warum erhalten wir zwei verschiedene Antworten für die Fluchtgeschwindigkeit, wenn wir verschiedene Gesetze anwenden, um sie zu berechnen?

Aaryan Dewan

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Aaryan Dewan

Antworten (3)

Physiker137

Aaryan Dewan

Physiker137

Suprabha

Aaryan Dewan

Bob Bee

Aaryan Dewan

Bob Bee

Aaryan Dewan

Bob Bee

Was passiert, wenn ein Projektil mit Fluchtgeschwindigkeit, aber nicht nach oben geschleudert wird?

Warum nähert sich der Wert der Fluchtgeschwindigkeit 0?

Fluchtgeschwindigkeit in einem Winkel

Warum ist in der Formel zum Erhalten der Fluchtgeschwindigkeit vfvfv_f 000?

Wie lange dauert es, bis eine Kugel eine geostationäre Umlaufbahn erreicht?

Wie hängt Fluchtgeschwindigkeit mit Energie und Geschwindigkeit zusammen?

Wie lange muss die Fluchtgeschwindigkeit aufrechterhalten werden?

Formel der Fluchtgeschwindigkeit

Auflösen nach der Anfangsgeschwindigkeit eines Projektils bei gegebenem Winkel, Schwerkraft und Anfangs- und Endposition?

Parabelbewegung (Experiment)