Wie kann die Geschwindigkeit eines Satelliten abnehmen, ohne dass sich sein Bahndrehimpuls ändert?

Lassen Sie uns das Problem analysieren, um zu sehen, wie dies passieren kann.

Der Satellit wird durch zwei Kräfte in der Gleichung "ausgeglichen" in der Umlaufbahn gehalten

$\frac{mv^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}$

Daraus bekommen wir$v=\sqrt\frac{GM}{r}$

daher ist der Drehimpuls

$L=pr=mvr=m(\sqrt{GM})r^{1/2}$.

Diese Gleichung zeigt, dass, solange sich die Masse des Satelliten nicht ändert, der Drehimpuls nicht unbedingt konstant bleibt, wenn man ihn auf eine höhere Umlaufbahn bringt. Der Drehimpuls kann gleich bleiben, indem man berücksichtigt, dass die Satellitenmasse durch Treibstoffverbrauch reduziert wird, um auf eine höhere Umlaufbahn gebracht zu werden.

Daher, wenn$r\rightarrow \alpha r$Und$m\rightarrow \frac m{\alpha^{1/2}}$Wo$\alpha\gt1$dann behält der Satellit den gleichen Drehimpuls.

Die Kommentare scheinen die Antwort zu liefern.

$$L = p \times r$$

$$L = m ( v \times r )$$

Wenn sich also r (der Abstand zum Brennpunkt der Umlaufbahn) ändert, kann sich die Geschwindigkeit ändern, ohne dass sich der Drehimpuls ändert. Dies ist bei Kreisbahnen nicht möglich, bei denen v immer senkrecht zu r steht und der Betrag von r konstant ist. In elliptischen und hyperbolischen Umlaufbahnen bleibt der Drehimpuls jedoch erhalten, während die Größe der Geschwindigkeit variiert, wenn die Größe von r variiert.

Eine Anmerkung zur Antwort von JKL: Die Gravitationskraft wird durch nichts ausgeglichen. Es ist eine Nettokraft, die den Satelliten in Richtung des Brennpunkts der Umlaufbahn beschleunigt. Wenn die Umlaufbahn kreisförmig ist, kann die Beschleunigung beschrieben werden durch$\frac{v^2}r$und damit muss die Gravitationskraft, die diese Beschleunigung verursacht, gleich sein$\frac{m\:v^2}r$. Dies ist jedoch kein Kräftegleichgewicht und gilt nur für Kreisbahnen.

Um die Geschwindigkeit während einer Umlaufbahn allgemein zu beschreiben, bietet sich eine Energiebilanz an:

$$E = KE + GPE$$ $$E = \frac12mv^2 - \frac{mGM}{|r|}$$ $$|v| = \sqrt{\frac{2GM}{|r|}+C}$$ Wo die Konstante $C=\frac{2E}m$, (Für Kreisbahnen $C= -\frac{GM}{|r|}$und für Parabelbahnen $C=0$)

Außerdem ist der Drehimpuls das Kreuzprodukt aus Impuls und Ortsvektor. Deshalb,$L\leq m\:|v|\:|r|$wobei Gleichheit nur für kreisförmige Bahnen gilt (oder vorübergehend, wenn die Geschwindigkeit senkrecht zum Positionsvektor steht).

Indem man seinen Radius vergrößert .

Der Drehimpuls ist das Kreuzprodukt aus Radius und Geschwindigkeit:

$$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{v}$$

Es ist ein Kompromiss zwischen Radius und Geschwindigkeit, wenn der Drehimpuls konstant ist (was für einen Satelliten gilt).