Keplers Gesetze: zeigen, dass der Planet immer in der gleichen Ebene bleibt？

Question

Keplers Gesetze: zeigen, dass der Planet immer in der gleichen Ebene bleibt？

shujuan liu

Drehimpuls kenne ich $L=q \times p$ konserviert wird, wo $p=L_{\dot q}$ ist linearer Impuls. Wie man dies auf einen Planeten anwendet, der den Stern umkreist, wird durch den Positionsvektor beschrieben $q$ relativ zum Stern. Hier $L=\frac{1}{2}M|\dot q ^2|+\frac{GM}{|q|}$ .

Um das Keplersche Gesetz abzuleiten

Ein Planet bleibt immer in einer festen Ebene und dem Radiusvektor $q$ fegt gleiche Flächen in gleicher Zeit.

Mein Versuch:

ich rechne $L_{\dot q}=M\dot q$ , also bedeutet die gegebene Bedingung $q \times \dot q$ wird konserviert. Ich denke, das Kreuzprodukt kann den Bereich bezeichnen, in den der Planet eindringt $\triangle t$ .

Aber ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass der Planet immer in der gleichen Ebene bleibt.

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Keplers Gesetze: zeigen, dass der Planet immer in der gleichen Ebene bleibt？

Gordon · Answer 1

Drehimpuls $\mathbf{L}=\mathbf{q}\times m\mathbf{\dot{q}}$ ist ein Vektor, der immer senkrecht auf steht $\mathbf{q}$ (wie es von einem Kreuzprodukt kommt). Da also der Drehimpuls erhalten bleibt, $\mathbf{q}$ steht immer senkrecht auf demselben Einheitsvektor $\hat{\mathbf{L}}$ die als Einheitsnormale einer Ebene genommen werden kann.

Im Allgemeinen die Größe des Kreuzprodukts $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ gibt die Fläche des Parallelogramms mit Seiten an $\mathbf{a}$ Und $\mathbf{b}$ . Hier wollen Sie das Dreieck mit Seiten $\mathbf{q}$ Und $d\mathbf{q}$ , dh $\frac{1}{2}|\mathbf{q}\times d\mathbf{q}|\approx \frac{1}{2}|\mathbf{q}\times \mathbf{\dot{q}}|\,dt$ .

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shujuan liu

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Gordon

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