Wie groß ist der Abstand zwischen zwei Objekten im Raum als Funktion der Zeit, wenn nur die Schwerkraft berücksichtigt wird? [Duplikat]

Was Sie haben, ist ein System gekoppelter Differentialgleichungen. Sprich die Position der Massen sind$m_1$Und$m_2$. Die Positionen sind$x_1(t)$Und$x_2(t)$. Wir gehen davon aus$x_1<x_2$. Beachten Sie, dass sie auf einer Linie bleiben, daher genügt es, eine Dimension zu berücksichtigen.

Jetzt verwenden wir$F=mx''$um unsere ODEs zu konstruieren:

$$G \frac{m_1 m_2}{(x_2(t)-x_1(t))^2} = m_1 x_1''(t)$$ $$G \frac{m_1 m_2}{(x_2(t)-x_1(t))^2} = m_2 x_2''(t)$$

Der Prozess der Lösung dieser ODEs kann ziemlich kompliziert werden. Ich würde Sie auf den Wikipedia-Artikel zum Zweikörperproblem verweisen, um eine vollständige Antwort zu erhalten.

Die zwei Bewegungsgleichungen reduzieren sich auf eine Bewegungsgleichung durch Berücksichtigung der Trennung$x=x_2-x_1$und die Trennbeschleunigung$\ddot{x} = \ddot{x}_2 -\ddot{x}_1$

$$\ddot{x} = -\frac{G (m_1+m_2)}{x^2}$$

oder$\ddot{x} = -K/x^2$mit$K=G (m_1+m_2)$

Dies kann umgeschrieben werden als$\frac{{\rm d} \dot{x}}{{\rm d} t} =\frac{{\rm d} \dot{x}}{{\rm d} x} \frac{{\rm d} x}{{\rm d} t} =\frac{{\rm d} \dot{x}}{{\rm d} x} \dot x = -\frac{K}{x^2}$

$$\int \dot{x} {\rm d} \dot{x} = -\int \tfrac{K}{x^2}\,{\rm d}x + C_1$$ $$\frac{1}{2} \dot{x}^2 = C_1 + \frac{K}{x}$$

Wenn die Körper zunächst in Ruhe sind, werden sie durch getrennt$d$Dann

$$\frac{1}{2} \dot{x}^2 = -\frac{K}{d} + \frac{K}{x}$$ oder $$\dot{x} = \sqrt{\frac{2 K (d-x)}{d\, x}}$$

Dies hat eine Lösung für die Zeit$t$als Funktion der Trennung$x$von

$$t= \sqrt{ \frac{d^3}{2 K}} \cos^{-1} \left( \sqrt{\frac{x}{d}}\right) - \sqrt{ \frac{d^2 x-d x^2}{2 K}}$$

Dies bedeutet die Zeit bis zum Erreichen der Kollision$x=0$Ist

$$t_C = \frac{\pi}{2}\sqrt{ \frac{d^3}{2 K}} = \frac{\pi}{2}\sqrt{ \frac{d^3}{2 G (m_1+m_2)}}$$

Dies ist der elliptische Fall des radialen Kepler-Problems , das die Gleichung für Zeit als Funktion des Ortes ist

$$t(r) = \sqrt{ \frac{d^3}{2 g} } \left( \arccos\left( \sqrt{ \frac{r}{d} } \right) + \sqrt{ \frac{r}{d} \left(1 - \frac{r}{d} \right) } \right)$$

wobei t die Zeit ist, r die Position ist, d der anfängliche (maximale) Abstand ist und g = G(m ₁ + m ₂ ).

In diesem Fall werden die beiden Massen 14,93 Milliarden Jahre brauchen, um sich von 6 Millionen Meilen auf 3 Millionen Meilen voneinander zu bewegen, und dann weitere 3,32 Milliarden Jahre, um sich von 3 Millionen Meilen auf null Meilen voneinander zu bewegen (Kollision). Die Schwerkraft ist eine sehr schwache Kraft.

---

Die Lösung des inversen Problems (Ermitteln der Entfernung als Funktion der Zeit) lautet:

$r(t) = d \left( y - \frac15 y^2 - \frac{3}{175} y^3 - \frac{23}{7875} y^4 - \frac{1894}{3931875} y^5 - \frac{3293}{21896875} y^6 \cdots \right) \Bigg|_{y = \frac{1}{d} \left(\frac92 g \right)^{1/3} (t_\rm{freefall}-t)^{2/3} }$

Wo$t_\rm{freefall} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{d^3}{2g} }$, und t ist die Zeit.

Weitere Informationen finden Sie auf meiner Website hier und hier .