Beziehung zwischen exzentrischen und wahren Anomalien

Hier ist der Beweis: Auf der Wikipedia-Seite zur exzentrischen Anomalie finden Sie ein Diagramm und einige Zwischenformeln.

Für eine Ellipse mit der üblichen Formel$x^2/a^2 + y^2/b^2=1$, es ist so, dass$\sin E = y/b$, und auch wenn Sie die Abbildung auf der Wiki-Seite studieren, können Sie das sehen$\sin (\pi-\nu) = \sin \nu = y/r$. Somit folgen die beiden Ergebnisse, die Sie ableiten möchten, aufeinander.

Die Beziehung zwischen der exzentrischen Anomalie und der wahren Anomalie ist

$$\tan \left(\frac{\nu}{2}\right) = \left(\frac{1+e}{1-e}\right)^{1/2} \tan \left(\frac{E}{2}\right) \tag{1}$$

Differenzieren (1):

$$\sec^2 \left(\frac{\nu}{2}\right) \frac{d\nu}{dE} = \left(\frac{1+e}{1-e}\right)^{1/2}\sec^2 \left(\frac{E}{2}\right)\tag{2}$$

Aber die Verwendung von (1) zum Ersetzen des Exzentrizitätsterms in (2)

$$\frac{d\nu}{dE} = \frac{\sec^2 (E/2) \tan (\nu/2)}{\sec^2 (\nu/2) \tan (E/2)}$$ $$\frac{d\nu}{dE} = \frac{\sin (\nu/2) \cos (\nu/2)}{\sin (E/2) \cos (E/2)} = \frac{\sin \nu}{\sin E} = \frac{y/r}{y/b} = \frac{b}{r}$$