Problem der Orbitalmechanik

Was bedeutet es eigentlich, wenn zwei Körper "ihren Massenmittelpunkt umkreisen". Bedeutet das, dass sich die beiden Körper in Ellipsen bewegen und der Schwerpunkt ein Brennpunkt jeder Ellipse ist?

Es wird auch Baryzentrum genannt . Jegliche zwei (oder mehr) Objekte in einer Umlaufbahn umeinander umkreisen alle das Baryzentrum. Bei der Arbeit mit 2 Objekten ist der Schwerpunkt der Schwerpunkt. Ich denke, Sie verwechseln den Massenschwerpunkt für jedes Objekt mit dem Massenschwerpunkt für das System.

Angenommen, wir haben zwei Massen mit nicht kollinearen Anfangsgeschwindigkeitsvektoren. Unter der Annahme, dass die einzige relevante Kraft die Anziehungskraft zwischen den beiden Massen ist, folgt daraus, dass die Körper ihren Massenmittelpunkt umkreisen? Mit anderen Worten, unter welchen Bedingungen umkreisen zwei Körper ihren Schwerpunkt?

Die 2 Objekte müssen immer ihren Massenmittelpunkt des Systems umkreisen.

Zur Lösung der Frage scheint es, dass nicht genügend Informationen zur Verfügung gestellt werden, um den Zeitraum zu bestimmen.

Hinzugefügt (korrigiert):
Der Zeitraum ist zu finden unter:$T=2\pi \sqrt {\frac{r^3}{G(M_1+M_2)}}$
Die Massen sind M und 3M und die Radien der Umlaufbahnen ist$\frac{1}{4}d + \frac{3}{4}d$.
Einsetzen der Werte ergibt:
$T=2\pi \sqrt {\frac{d^3}{4GM}}$
$T=\pi \sqrt {\frac{d^3}{GM}}$
Welches ist A.

Ich habe die Antwort auf meine eigene Frage gefunden und die Verwirrung beseitigt.

Erinnern wir uns zunächst:

1.Zwei Körper, die sich im Raum nur unter dem Einfluss der Gravitationsanziehung zwischen ihnen bewegen, bewegen sich in Ellipsen, wobei der Massenmittelpunkt des Systems in einem Brennpunkt jeder Ellipse liegt. Dies ist eine sehr nicht triviale Aussage, aber ich werde sie hier nicht beweisen.

2. Zwei Körper, die ihren Schwerpunkt umkreisen, sind immer kollinear mit dem Schwerpunkt. Daraus folgt, dass die auf jeden Körper ausgeübte gravitative Anziehungskraft eine zentrale Kraft ist (dh sie zeigt zum Massenmittelpunkt).

In der Problemstellung heißt es: „Die beiden Körper sind durch eine Distanz getrennt$d$". Die Formulierung ist etwas mehrdeutig, aber ich glaube, was gemeint ist, ist "die beiden Körper sind durch einen festen Abstand getrennt$d$durch ihre Umlaufbahnen".

Wir können also annehmen, dass sich die beiden Körper auf konzentrischen Kreisen bewegen, wobei sich der Mittelpunkt im Massenmittelpunkt des Systems befindet.

Nun ist es verlockend, Keplers drittes Gesetz hier auf die Umlaufbahn des Körpers mit Masse anzuwenden$3M$(wie es LDC3 tat). Die Ableitung des dritten Kepler-Gesetzes geht jedoch davon aus, dass die Masse, die die Zentripetalkraft auf den umkreisenden Körper liefert, den gleichen Abstand von dem umkreisenden Körper hat wie die Masse, die die Gravitationskraft liefert. Mit anderen Worten, die auf jeden Körper ausgeübte zentrale Kraft geht nicht vom Massenmittelpunkt des Systems aus.

Richtig vorgehen ist, die Gravitationskraft auf die Masse zu notieren$3M$Ist$\frac{G(M)(3M)}{d^2}$aber die Zentripetalkraft ist$\frac{(3M)v^2}{r}$Wo$r$ist der Abstand zum Schwerpunkt, der bestimmt werden kann$d/4$. Verwenden$v=\frac{2\pi r}{T}$mit$T$die Periode, können wir die Zentripetalkraft mit der Gravitationskraft gleichsetzen und gelangen zu$T=\pi\sqrt{\frac{d^3}{GM}}$. Dies ist in der Tat eine Antwortoption :).

Was wir im Wesentlichen getan haben, war Keplers drittes Gesetz (für Kreisbahnen) auf den Fall zu verallgemeinern, in dem die Körper ihren Massenmittelpunkt umkreisen. Keplers drittes Gesetz geht davon aus, dass der Körper, um den wir kreisen, im Raum fixiert ist.

Ich erkenne jetzt, dass das Problem viel subtiler ist, als ich vorher dachte.