Zweite Erklärung des Kepler-Gesetzes

Keplers zweites Gesetz (eine Strecke, die einen Planeten und die Sonne verbindet, überstreicht in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen) ist eine Folge der Erhaltung des Drehimpulses. Es gilt nicht nur für die Schwerkraft, sondern auch für die Bewegung unter jeder zentralen Kraft , dh einer Kraft, die immer direkt auf einen festen Punkt gerichtet ist.

Natürlich leitete Kepler selbst seine drei Gesetze empirisch ab, indem er die Bewegungen der bekannten Planeten beobachtete. Es war Newton, der bewies, dass das erste und dritte Gesetz von Kepler eine Folge der inversen quadratischen Natur der Schwerkraft sind und dass das zweite Kepler-Gesetz allgemeiner auf jede zentrale Kraft anwendbar ist.

Die Fläche eines Sektors ist$A = \frac{1}{2}r^2 \theta$und für kleine zeitliche Änderungen (bei denen der Abstand des Planeten zur Sonne als konstant angenommen wird) die Rate, mit der das Gebiet überstrichen wird$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2 \omega$

Für Bahnen ist der Drehimpuls konstant, also$mr^2\omega$konstant ist, und das bedeutet, dass die Geschwindigkeit, mit der die Fläche ausgeräumt wird, ebenfalls konstant ist.

Wir könnten also die von der Erde überstrichene Fläche um die Sonne für einen Tag im Januar (zum Beispiel), wenn sie am nächsten ist, und einen Tag im Juli, wenn sie am weitesten entfernt ist, vergleichen, und die Flächen wären gleich.

Keplers zweites Gesetz

nach dem zweiten Newtonschen Gesetz

$$m\,\mathbf{\ddot{r}}=F(r)\,\frac{\mathbf r}{r}$$

Wo$~F(r)~$ist zentrale Kraft

von hier

$$\mathbf r\times m\,\mathbf{\ddot{r}}=\frac{F(r)}{r}\left(\mathbf r\times \mathbf r\right)=\mathbf 0$$

mit

$$\frac{d}{dt}\left(\mathbf r\times m\,\mathbf{\dot{r}}\right)= \mathbf{\dot{r}}\times m\,\mathbf{\dot{r}}+\mathbf r\times m\,\mathbf{\ddot{r}}= \mathbf 0$$

somit

$$\mathbf r\times m\,\mathbf{\dot{r}}=\mathbf L=\textbf{const.}\tag 1$$

dies ist die Erhaltung des Drehimpulses

zusätzlich aus Gleichung (1) erhält man das$\mathbf r\cdot \mathbf L=\mathbf 0~$Dies bedeutet, dass$~\mathbf r\perp\mathbf L~$der Massenpunkt m hat also eine Planbewegung

aus Gleichung (1)$~\mathbf r\times \mathbf{\dot{r}}=\frac{\textbf{const.}}{m}$mit Polarkoordinaten erhalten Sie

$$\mathbf r=r\,\begin{bmatrix} \cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \\ 0 \\ \end{bmatrix}\\ \mathbf{\dot{r}}=\left[ \begin {array}{c} \cos \left( \varphi \right) {\dot r}-r\sin \left( \varphi \right) \dot\varphi \\ \sin \left( \varphi \right) {\dot r}+r\cos \left( \varphi \right) \dot\varphi \\ 0\end {array} \right]\quad \Rightarrow\\ |\mathbf r\times \mathbf{\dot{r}}|=r^2\,\dot\varphi$$

oder

$$\frac{d A}{dt}=\frac 12 r^2\,\dot\varphi\\ \boxed{~A=\frac 12 r^2\,\varphi}$$

Keplers zweites Gesetz