Winkelimpulserhaltung vs. Keplersches Gesetz

Ein Planetensystem bestehe nur aus der Erde und der Sonne, wobei sich die Erde in einer vollkommen kreisförmigen Umlaufbahn um die Sonne dreht. Wenn der radiale Abstand (R) der Erde von der Sonne verdoppelt wird, wie groß wird dann die neue Umlaufzeit (T)? Wenn ich das Keplersche Gesetz von anwende T 2 proportional zu R 3 das ergibt T=1032 Tage. Wenn ich jedoch den Erhaltungssatz des Drehimpulses anwende:

Masse (m) × Winkelgeschwindigkeit (w) × R 2 = konstant,

oder w × R 2 =konstante,
oder (2 × π T ) × R 2 = konstant,
oder R 2 = konstant × T
oder T proportional zu R 2 ; das ist anders als das Keplersche Gesetz! Können Sie mir bitte sagen, in welcher Annahme ich den Fehler mache?

Antworten (5)

Zwischen zwei Punkten auf derselben Bahn bleibt der Drehimpuls erhalten . Mit anderen Worten, der Drehimpuls der Erde um die Sonne ist jetzt derselbe wie vor drei Stunden.

Dies bedeutet nicht , dass der Drehimpuls der Erde gleich wäre, egal wie groß ihre Umlaufbahn ist.

Ganz recht. Die Erhaltung des Drehimpulses impliziert Keplers 2. Gesetz, das besagt, dass ein Planet (auf einer bestimmten Bahn!) in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht.

Die Drehimpulserhaltung gilt für isolierte Systeme. Sie können den Radius der kreisförmigen Umlaufbahn in Ihrem Szenario nicht ändern und die Massen ohne äußeren Einfluss beibehalten.

Liebes, du hast gesagt, dass die Flugbahn die gleiche sein muss, um das Erhaltungsgesetz anzuwenden! Wie berechnet man jedoch im Falle eines Seils, das sich über dem Kopf dreht und dessen eine Seite an einer Masse befestigt ist, die Umlaufzeit, wenn die Person, die das Seil handhabt, das Seil plötzlich verdoppelt?

Im Kepler-Gesetz T 2 = k R 3 . Wenn Sie den Radius vergrößern, ändert sich die Konstante nicht. K wird den gleichen Wert haben, dh 4 π 2 G M wenn Sie den Radius ändern, da er nicht von R abhängt.

Die erste Gleichung, die Sie verwenden, ist Winkelimpuls (MVR) = konstant.
Und die letzte Gleichung, die Sie aufgestellt haben, ist R 2 = konstant × T.
Wenn Sie den Radius vergrößern, erhöht sich der Drehimpuls gemäß der ersten Gleichung. Und die ständigen Veränderungen. Das bedeutet, dass sich in der letzten Gleichung, wenn Sie R zu 2R ändern, auch der konstante Wert ändert, und das bedeutet, dass Sie dies ebenfalls berücksichtigen müssen.

Ihr Fehler ist, dass Sie nicht von einer Erhaltung des Drehimpulses ausgehen können, wenn Sie den Umlaufradius der Erde verdoppeln. Keplers 3. Gesetz (für Kreisbahnen)

(1) T 1 2 : T 2 2 = R 1 3 : R 2 2
folgt aus der Gleichsetzung der Zentripetalkraft auf der Erde mit der Gravitationskraft
(2) F C = M R ω 2 = G M · M 4 π R 2
woraus folgt
(3) ω 2 · R 3 = ( 2 π T ) 2 · R 3 = G M 4 π = C Ö N S T
was dem Keplerschen Gesetz (1) entspricht. Der Drehimpuls der Erde ist gegeben durch
L = M ω R 2
Also mit Gl. (3) dies gibt
( L M ) 2 = C Ö N S T · R
Dies zeigt, dass der Drehimpuls der Erde proportional zur Quadratwurzel des Bahnradius ist R . Wenn Sie den Umlaufradius der Erde verdoppeln, wird der Drehimpuls nicht konstant sein, sondern um einen Faktor von zunehmen 2 .

Nun, Sie haben die Impulserhaltung verwendet, um die Winkelgeschwindigkeit zu erhalten. Die Zeit, in der Sie dort ankamen, war die Zeit, in der sich der Planet drehte und nicht drehte, aber die Zeit, die Sie erhalten, wenn Sie das Kepler-Gesetz der Planetenbewegung anwenden, ist die Zeit der Umdrehung und nicht der Rotation daher sind die Zeiträume unterschiedlich.

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