Wie erklärt die Newtonsche Mechanik, warum umlaufende Objekte nicht auf das Objekt fallen, das sie umkreisen?

Die Newtonsche Mechanik erklärt, dass sie auf das Objekt, das sie umkreisen, fallen, sie verfehlen einfach weiter .

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Schnelle und schmutzige Ableitung für eine kreisförmige Umlaufbahn.

Lassen Sie die Primärmasse Masse haben$M$und die Satellitenmasse$m$so dass$m \ll M$(Es kann auch für andere Fälle gemacht werden, aber das spart Mathiness).

Angenommen, wir beginnen mit einer anfänglichen kreisförmigen Umlaufbahn auf dem Radius$r$, Geschwindigkeit$v = \sqrt{G\frac{M}{r}}$. Die Erdbeschleunigung des Satelliten ist$a = G\frac{M}{r^2}$was bedeutet, dass wir auch schreiben können$v = \sqrt{\frac{a}{r}}$. Die Periode der Umlaufbahn ist$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r}{a}}$.

Wählen Sie ein Koordinatensystem, in dem sich die Ausgangsposition befindet$r\hat{i} + 0\hat{j}$und die Anfangsgeschwindigkeitspunkte in der$+\hat{j}$Richtung. Wählen Sie eine kurze Zeit$t \ll T$und mal sehen, wie weit der Satellit nach dieser Zeit von der Primärseite entfernt ist.

Wenn wir gewählt haben$t$kurz genug, können wir die Gravitation als über die Zeitdauer gleich stark annähern (und wir werden später zeigen, dass dies gerechtfertigt ist).

Die neue Stelle ist$\left(r - \frac{1}{2}at^2\right)\hat{i} + vt\hat{j}$der in der Ferne liegt

$$r_2 = \sqrt{r^2 - r a t^2 + \frac{1}{4}a^2 t^4 + v^2 t^2}$$ Ziehen Sie unseren At-Faktor von $r$wir bekommen $$r_2 = r \sqrt{1 - \frac{a}{r} t^2 + \frac{1}{4}\frac{a^2}{r^2} t^4 + \frac{v^2}{r^2} t^2}$$ und alle konvertieren $\frac{a}{r}$und $\frac{v}{r}$Ausdrücke in Ausdrücke der Periode, die wir erhalten $$r_2 = r \sqrt{1 - \left(2\pi\frac{t}{T}\right)^2 + \frac{1}{4}\left(2\pi\frac{t}{T}\right)^4 + \left(2\pi\frac{t}{T}\right)^2}$$ Schließlich lassen wir die fallen $(t/T)^4$Term als vernachlässigbar und beachten Sie, dass die $(t/T)^2$Bedingungen stornieren, so dass das Ergebnis ist $$r_2 = r$$ oder der Radius hat sich nie geändert (was die konstante Größe für die Beschleunigung rechtfertigt und klein genug ist $t$rechtfertigt sowohl die konstante Richtung als auch das Weglassen des Terms vierten Grades).

Die Schwerkraft hat wenig mit Reibung zu tun. Wie dmckee sagt, passiert, dass der Körper fällt, aber gerade weil er genügend Schwung hat, fällt er um das Objekt herum, zu dem er hingezogen wird, anstatt hinein. Natürlich ist dies nicht immer der Fall, es kommt zu Kollisionen. Auch Systeme von astronomischen Körpern sind kompliziert und die kombinierte Wirkung der Wirkung mehrerer verschiedener Körper auf einen kann Flugbahnen destabilisieren, die in einem einfachen Fall mit zwei Körpern stabile Ellipsen wären. Die Folge könnte eine Kollision oder ein Entkommen des Körpers sein.

Im 2-Körper-Fall jedoch ist der entscheidende Aspekt der Gravitation, der die Stabilität des Systems garantiert, die Tatsache, dass die Gravitation eine Zentripetalkraft ist . Sie wirkt immer auf das Zentrum der anderen Gravitationsmasse. Man kann zeigen, dass dieses Merkmal die Erhaltung des Drehimpulses impliziert , was bedeutet, dass das 2-Körper-System, wenn es zu Beginn einen gewissen Drehimpuls hatte, denselben Drehimpuls auf unbestimmte Zeit beibehält.

(Zusätzliche Anmerkung, selbst im 2-Körper-Fall kann es zu Kollisionen und Flucht ins Unendliche kommen, das erste, wenn nicht genügend Drehimpuls vorhanden ist (z. B. ein Körper hat eine auf den anderen Körper gerichtete Geschwindigkeit, wie ein Apfel, der von einem Baum fällt ), der andere, wenn zu viel Drehimpuls vorhanden ist, was zu parabolischen oder hyperbolischen Bahnen führt.)

Ich stelle mir das immer so vor: Die Schwerkraft und die Zentrifugalkraft, die das umkreisende Objekt erzeugt, sind genau im Gleichgewicht. Wenn Sie ein Seil an einen Gegenstand binden und es um sich herum wirbeln, wird die Zentrifugalkraft an dem Seil ziehen. Sie ziehen sich mit der gleichen Kraft zurück, damit das Objekt um Sie herum kreist. Das ist genau das, was die Schwerkraft mit umkreisenden Objekten macht.

Sie können auch sehen, dass die Geschwindigkeit des Objekts es in eine bestimmte Umlaufbahn zwingt. Wenn das Objekt langsamer wird, fällt es und erreicht entweder eine neue niedrigere Umlaufbahn oder kollidiert mit dem Objekt, um das es sich dreht.