Wie kann man beweisen, dass die Schwerkraft in einer Ebene stattfindet?

Dies gilt nur in einem Zweikörpersystem. In vielen Körpersystemen wie dem Sonnensystem ändern die Planeten ständig ihre Umlaufebene (leicht) aufgrund von Störungen durch andere Körper.

In einem Zwei-Körper-System ist die Bahnebene konstant, weil die Lagrange-Funktion axialsymmetrisch ist und das bedeutet, dass der Drehimpuls erhalten bleibt. Dies ist eine Konsequenz aus dem Satz von Noether . Da der Drehimpuls konstant ist, kann sich die Bahnebene nicht ändern.

Ich hatte noch nie von Noethers Theorem gehört und verstehe es immer noch nicht, aber hier ist eine intuitive Erklärung ...

Stellen Sie sich vor, dass die Anfangsgeschwindigkeitsvektoren der beiden Körper in derselben Ebene liegen. Der Beschleunigungsvektor jedes Körpers zeigt auf den anderen Körper und liegt daher in derselben Ebene wie die Geschwindigkeitsvektoren.

Da alle Geschwindigkeitsvektoren und Beschleunigungen innerhalb der Ebene liegen, müssen daher auch zukünftige Positionen der Körper innerhalb der Ebene liegen .

Wenn jedoch die anfänglichen Geschwindigkeitsvektoren nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen , dann werden die zukünftigen Positionen offensichtlich nicht in einer einzigen Ebene liegen. Beispielsweise würde ein Raumfahrzeug, das einen Planeten in einer Richtung orthogonal zur Bewegungsrichtung des Planeten umkreist, eine Helix durch den Raum verfolgen.

Es ist nicht so, dass die Schwerkraft in einem Flugzeug stattfindet. Es ist, dass ein Zwei-Körper-System in einer Ebene umkreist. Dies kann ziemlich einfach mit der Lagrange-Mechanik gesehen werden. Betrachten Sie die Bewegung eines Körpers in einer Ebene. Die Position des Körpers in dieser Ebene hat Verschiebungen

$$d\vec x~=~\hat rdr~+~\hat\theta rd\theta.$$ Die Einheitsvektoren $\hat r$Und $\hat\theta$sind Polarkoordinaten in einer Ebene. Die Geschwindigkeit ist $\vec v~=~d\vec x/dt$definiert das Quadrat der Geschwindigkeit $v^2~=~\dot r^2~+~r^2\dot\theta^2$. Für das Problem der Gravitation haben wir $${\cal L}~=~\frac{1}{2}m(\dot r^2~+~r^2\dot\theta^2)~+~\frac{GMm}{r}$$ Es gibt zwei Euler-Lagrange-Gleichungen für die zwei unabhängigen Koordinaten $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial r}\right)~-~\frac{\partial{\cal L}}{\partial r}~=~0~=~m\ddot r~-~mr\dot\theta^2~+~\frac{GMm}{r^2}$$ Und $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial\theta}\right)~-~\frac{\partial{\cal L}}{\partial\theta}~=~0~=~mr\ddot\theta.$$ Die letzte davon mit $mr\ddot\theta~=~0$gibt die Gleichung der konstanten Bewegung an $$mr^2\dot\theta~=~L~=~constant.$$ Dies ist die Konstanz des Drehimpulses. Die Erhaltung des Drehimpulses ist es, die zwei Körperbahnen auferlegt, auf einer Ebene zu liegen. Dies lässt uns auch die Lagrange-Funktion schreiben als $${\cal L}~=~\frac{1}{2}m\dot r^2~+~\frac{L^2}{2mr^2}~+~\frac{GMm}{r},$$ wobei der Drehimpulsterm ein effektives Potential entgegen der radialen Richtung der Schwerkraft angibt. Es bedeutet auch die Variable $r$Und $\theta$nicht unabhängig sind, was von Kepler beobachtet wurde. Die dynamische Gleichung lautet dann $$\ddot r~-~\frac{L^2}{2mr^3}~+~\frac{GM}{r^2}~=~0$$