Keplers zweites Gesetz impliziert, dass der Drehimpuls konstant ist?

Question

Keplers zweites Gesetz impliziert, dass der Drehimpuls konstant ist?

Sha Vuklia

Mein Lehrbuch sagt, dass wir aus Keplers zweitem Gesetz schließen können, dass der Drehimpuls für einen Planeten erhalten bleibt und daher die Schwerkraft eine zentrale Kraft ist.

Jetzt verstehe ich, wie konstanter Drehimpuls impliziert, dass die Schwerkraft eine zentrale Kraft ist. Ich verstehe jedoch nicht, woher wir wissen, dass der Drehimpuls erhalten bleibt, basierend auf dem zweiten Gesetz von Kepler.

Mein Lehrbuch beschreibt Keplers zweites Gesetz wie folgt:

\int_{T_{1}}^{T^{2}} R v_{ϕ} D T = C \int_{T_{1}}^{T_{2}} D T = C (T_{2} - T_{1}),

$\int_{t_1}^{t^2}rv_\phi\,\mathrm dt=C\int_{t_1}^{t_2}\mathrm dt=C(t_2-t_1),$ Wo

C

$C$ ist eine Konstante.

Wir sehen das $rv_\phi=r^2\dot\phi=C$ . Das wissen wir auch $|\vec{L}|=|\vec{r}\times\vec{p}|=rmv\sin\theta=mr^2\omega\sin\theta.$

Richtig, also können wir davon ausgehen $m$ ist konstant, und $r^2\omega$ auch durch Keplers zweites Gesetz. Wie wäre es mit $\theta$ obwohl? Woher wissen wir $\theta$ ist konstant?

Für Kreisbahnen kann ich das sehen $\theta=\frac{1}{2}\pi$ , aber wie sieht es mit elliptischen Bahnen aus?

BEARBEITEN

Okay, ich glaube, ich habe es verstanden. Wir betrachten ein festes Objekt (Planeten), das sich um eine feste Rotationsachse dreht, also sollten wir technisch verwenden $\vec L=I\vec\omega$ . Aber ich denke, wir können das Trägheitsmoment für einen Planeten annähern als $mr^2$ , unter Berücksichtigung der räumlichen Dimensionen, mit denen wir arbeiten. Und deshalb bekommen wir $|\vec L|=I|\vec \omega|=mr^2\omega=$ Konstante. Da sich ein Planet nicht plötzlich „dreht“, können wir auch die Richtung von annehmen $\vec \omega$ konstant sein.

Abhijeet Melkani

v

$v$ ist nicht gleich

r ω

$r\omega$ . Die Geschwindigkeit hat auch eine radiale Komponente. Sie hatten bis zum vorletzten Schritt Recht. Danach schlage ich vor, dass Sie zwei Komponenten zum Geschwindigkeitsvektor zeichnen. Eine in Positionsrichtung und eine senkrecht. Die parallele Komponente hebt sich im Kreuzprodukt auf und die senkrechte Komponente ist gleich

r ω

$r\omega$ (NEIN

s i n θ

$sin\theta$ hier, weil diese Komponente genau senkrecht steht) .

Sha Vuklia

@A.Melkani Ahhh, großartig! Erstaunlich, vielen Dank. Also bekommen wir:

| \vec{L} | = M | \vec{R} \times \vec{v} | = M | \vec{R} \times [{\vec{v}}_{ϕ} + {\vec{v}}_{R}] | = M | \vec{R} \times {\vec{v}}_{ϕ} | + M | \vec{R} \times {\vec{v}}_{R} | = M | \vec{R} \times {\vec{v}}_{ϕ} | = M R v_{θ} = M R^{2} ω

$|\vec L|=m|\vec r\times\vec v|=m|\vec r\times[\vec v_\phi+\vec v_r]|=m|\vec r\times\vec v_\phi|+m|\vec r\times\vec v_r|=m|\vec r\times\vec v_\phi|=mrv_\theta=mr^2\omega$

Abhijeet Melkani

Ja, und zwar die

C

$C$ selbst ist

r^{2} ω

$r^2\omega$ wie Sie zu Recht erwähnt haben. Der Drehimpuls ist also

m * C

$m*C$ was erhalten bleibt, da diese beiden Größen erhalten bleiben.

Antworten (2)

Keplers zweites Gesetz impliziert, dass der Drehimpuls konstant ist?

$v$ ist nicht gleich $r\omega$ . Die Geschwindigkeit hat auch eine radiale Komponente. Sie hatten bis zum vorletzten Schritt Recht. Danach schlage ich vor, dass Sie zwei Komponenten zum Geschwindigkeitsvektor zeichnen. Eine in Positionsrichtung und eine senkrecht. Die parallele Komponente hebt sich im Kreuzprodukt auf und die senkrechte Komponente ist gleich $r\omega$ (NEIN $sin\theta$ hier, weil diese Komponente genau senkrecht steht) .
@A.Melkani Ahhh, großartig! Erstaunlich, vielen Dank. Also bekommen wir: $| \vec{L} | = M | \vec{R} \times \vec{v} | = M | \vec{R} \times [{\vec{v}}_{ϕ} + {\vec{v}}_{R}] | = M | \vec{R} \times {\vec{v}}_{ϕ} | + M | \vec{R} \times {\vec{v}}_{R} | = M | \vec{R} \times {\vec{v}}_{ϕ} | = M R v_{θ} = M R^{2} ω$ $|\vec L|=m|\vec r\times\vec v|=m|\vec r\times[\vec v_\phi+\vec v_r]|=m|\vec r\times\vec v_\phi|+m|\vec r\times\vec v_r|=m|\vec r\times\vec v_\phi|=mrv_\theta=mr^2\omega$
Ja, und zwar die $C$ selbst ist $r^2\omega$ wie Sie zu Recht erwähnt haben. Der Drehimpuls ist also $m*C$ was erhalten bleibt, da diese beiden Größen erhalten bleiben.

Dirakologie · Answer 1

Das zweite Gesetz von Kepler besagt, dass der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht. Mit anderen Worten, die Änderungsrate $\frac{dA}{dt}$ ist konstant. Betrachten Sie die folgende Abbildung,

Das Are-Element ist $dA=\frac{1}{2}r^2d\theta$ also im Zeitintervall $dt$ wir haben

\frac{D θ}{D T} = \frac{2}{R^{2}} \frac{D A}{D T},

$\frac{d\theta}{dt}=\frac{2}{r^2}\frac{dA}{dt},$ Andererseits ist der Betrag des Drehimpulses (bzgl

O

$O$ ) Ist

L = m r^{2} \dot{θ}

$L=mr^2\dot\theta$ . Daher,

L = 2 M \frac{D A}{D T},

$L=2m\frac{dA}{dt},$ was konstant ist.

Dies beweist jedoch nicht, dass der Vektor $\vec L$ ist konstant. Um zu beweisen, dass der Vektor seine Richtung nicht ändert, muss man entweder das erste Kepplersche Gesetz annehmen (was impliziert, dass die Bahn in einer Ebene liegt) oder dass die Kraft zentral ist (was automatisch die Drehimpulserhaltung impliziert).

David Hammen · Answer 2

Mein Lehrbuch beschreibt Keplers zweites Gesetz wie folgt:
$\int_{T_{1}}^{T^{2}} R v_{ϕ} D T = C \int_{T_{1}}^{T_{2}} D T = C (T_{2} - T_{1}),$ $\int_{t_1}^{t^2}rv_\phi\,\mathrm dt=C\int_{t_1}^{t_2}\mathrm dt=C(t_2-t_1),$ Wo $C$ ist eine Konstante.

Das allein sagt aus, dass die Größe des Drehimpulses konstant ist.

Die Ihres Lehrbuchs $v_\phi$ ist die Komponente des Geschwindigkeitsvektors, die normal zum radialen Vektor ist: $\vec v = v_r \hat r + v_\phi \hat \phi$ . Daher $\vec L = m \vec r \times \vec v = m r v_\phi\,\hat r \times \hat \phi$ . Seit seit $||\hat r \times \hat \phi|| \equiv 1$ , die Größe des Drehimpulsvektors eines Planeten ist $||\vec L|| = m r v_\phi$ . Da die Masse konstant ist und da $\int_{t_1}^{t_2} r v_\phi dt = C(t_2-t_1)$ , ist der Betrag des Drehimpulsvektors konstant.

Um zu einem konstanten Drehimpulsvektor zu gelangen, müssen wir wissen, dass seine Richtung ebenfalls konstant ist. Dies ist eine Folge davon, dass Umlaufbahnen planar sind, was Teil von Keplers erstem Gesetz ist.

Keplers zweites Gesetz impliziert, dass der Drehimpuls konstant ist?

Sha Vuklia

Abhijeet Melkani

Sha Vuklia

Abhijeet Melkani

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