Das zweite Keplersche Gesetz impliziert diese konstante Geschwindigkeit

Question

Das zweite Keplersche Gesetz impliziert diese konstante Geschwindigkeit

FUUNK1000

Ich habe versucht, dies abzuleiten, wenn wir annehmen, dass die Umlaufbahnen des Planeten kreisförmig sind und das zweite Gesetz von de Kepler wahr ist:

Eine Linie, die einen Planeten und die Sonne verbindet, überstreicht in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen

dann ist die lineare Geschwindigkeit der Planeten konstant.

Das ist meine Begründung:

Lassen $\gamma (t)=r(\cos\theta(t),\sin\theta(t))$ eine Umlaufbahn sein. Das müssen wir beweisen:

| \frac{D γ}{D T} | = Konstante

$\Big|\frac{d\gamma}{dt}\Big|=\text{ constant }$ oder gleichwertig

\frac{d θ}{d t} = constant

$\frac{d\theta}{dt}=\text{ constant}$ .

Das zweite Gesetz von Kepler ist äquivalent zu:

\int_{0}^{R} \int_{θ (T_{1})}^{θ (T_{2})} ρ D θ D ρ = \int_{0}^{R} \int_{θ (T_{1}^{'})}^{θ (T_{2}^{'})} ρ D θ D ρ für alle T_{2} - T_{1} = T_{2}^{'} - T_{1}^{'}

$\int_0^r\int_{\theta(t_1)}^{\theta(t_2)} \rho d\theta d\rho=\int_0^r\int_{\theta(t'_1)}^{\theta(t'_2)}\rho d\theta d\rho \qquad\text{ forall } \ t_2-t_1=t'_2-t'_1$ das bedeutet:

θ (T_{2}) - θ (T_{1}) = θ (T_{2}^{'}) - θ (T_{1}^{'}) für alle T_{2} - T_{1} = T_{2}^{'} - T_{1}^{'}

$\theta(t_2)-\theta(t_1)=\theta(t'_2)-\theta(t'_1) \qquad\text{ forall } \ t_2-t_1=t'_2-t'_1$

Jede Hilfe für bekommen $|\gamma'|=\text{ constant}$ auf diese Weise?

Wenn dies aufgrund dieser Argumentation unmöglich ist, wie könnte dieser Beweis in Bezug auf die Drehimpulserhaltung sein?

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Das zweite Keplersche Gesetz impliziert diese konstante Geschwindigkeit

Levitopher · Answer 1

Ich meine, wenn Sie glauben, was Sie gerade geschrieben haben,

θ (T_{2}) - θ (T_{1}) = θ (T_{2}^{'}) - θ (T_{1}^{'})

$\theta(t_2)-\theta(t_1)=\theta(t'_2)-\theta(t'_1)$

Dann denke ich, dass Sie es bereits bewiesen haben, mit etwas mehr formalem Kalkül. Schreiben Sie zuerst den obigen Ausdruck um als $\Delta \theta(t)=\Delta \theta(t')$ , wobei der Strich das andere Intervall angibt. Wenn

T_{2} - T_{1} = T_{2}^{'} - T_{1}^{'},

$t_2-t_1=t'_2-t'_1,$

Dann einfach einstellen $\Delta t=t_2-t_1=t'_2-t'_1=\Delta t'$ . Teilen Sie nun beide Seiten Ihres Ausdrucks, um zu erhalten

\frac{Δ θ (T)}{Δ T} = \frac{Δ θ (T^{'})}{Δ T^{'}} .

$\frac{\Delta \theta(t)}{\Delta t}=\frac{\Delta \theta(t')}{\Delta t'}.$

Machen Sie nun diese endlichen Unterschiede zu Infinitesimalen,

\frac{D θ (T)}{D T} = \frac{D θ (T^{'})}{D T^{'}} .

$\frac{d\theta(t)}{dt}=\frac{d\theta(t')}{dt'}.$

Die Ableitung ist also für zwei beliebige Intervalle konstant $(t_1,t_2)$ Und $(t_1',t_2')$ . Ist es nicht das, was du wolltest?

BEARBEITEN: Der Grund, warum Keplers zweites Gesetz wahr ist, liegt in der Impulserhaltung, also ist dies der übliche Weg dieses Beweises. In diesem Fall funktioniert es sowohl für kreisförmige als auch für elliptische Umlaufbahnen.

Das zweite Keplersche Gesetz impliziert diese konstante Geschwindigkeit

FUUNK1000

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Levitopher

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