Zusammenhang zwischen Winkel- und Linearimpuls

Kürzlich bin ich auf dieses interessante Problem mit Billardkugeln gestoßen.

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Die Frage fordert uns auf, die Höhe zu bestimmen H so dass die Kugel unmittelbar nach dem Aufprall ohne Rutschen rollt.

Das erste, was mir nach dem Lesen dieser Frage in den Sinn kam, war, dass Drehimpuls und linearer Impuls erhalten bleiben sollten und die Beziehung zwischen Winkel- und Translationsgeschwindigkeit sein muss v = R ω , sowohl vor als auch nach dem Zusammenstoß.

Aus "Introduction to Classical Mechanics" von David Morin gibt es diese Gleichung, die die Änderung des linearen Impulses mit der Änderung des Drehimpulses nach dem Erleben eines Impulses in Beziehung setzt.

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Wenn ich diese Gleichung für diese Frage verwenden würde, dann wäre es

ICH ( ω A F T e R − ω B e F Ö R e ) = M ( v A F T e R − v B e F Ö R e ) H ,

H = ( 2 / 5 M R 2 + M R 2 ) ( ω A F T e R − ω B e F Ö R e ) M R ( ω A F T e R − ω B e F Ö R e )

Dies würde uns eine ziemlich nette Antwort geben: H = 7 5 R .

Aber für die Gleichung: Δ L → = R → × Δ P → anwenden, es funktioniert nur, wenn die Kraft, F ( T ) , wird an einer Position angewendet. In diesem Fall wirken jedoch mehrere Kräfte (auch an unterschiedlichen Positionen), nämlich die Normalkraft des Überhangs, das Gewicht sowie die Normalkraft des Bodens.

Was wäre ein besserer Weg, um dieses Problem anzugehen?

Antworten (1)

Gleichung 8.6 sieht irrelevant aus. L → = R → × P → ist der Drehimpuls des Massenmittelpunkts bei Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems die Position R → wird eingemessen.

Hier ist die Sache - der Drehimpuls bleibt bei diesem Problem einfach nicht erhalten. Der Überhang übt ein Drehmoment auf die Kugel aus, es sei denn H = R . Kinetische Energie bleibt erhalten, und das war's. Ich bin zuversichtlich, dass Sie das Problem lösen können, indem Sie diese Tatsache zusammen mit der Tatsache verwenden, dass die Kraft, die den Impuls liefert , um den Impuls des Balls zu reflektieren, auch den Drehimpuls widerspiegeln muss. So

F → Δ T = Δ P → τ → Δ T = Δ L → .

Rollen ohne Rutschen bedeutet, dass der Drehimpuls am Massenmittelpunkt der Kugel anliegt

L = ICH ω = 2 5 M R 2 v R = 2 5 M R v .
Denn sowohl der Impuls als auch der Drehimpuls werden reflektiert Δ P = 2 M v Und Δ L = 4 5 M R v . Für den Drehimpuls um den Massenmittelpunkt der Kugel gilt: τ = F ( H − R ) .

Setzen Sie das alles zusammen und lösen Sie es, und Sie bekommen H = 7 R / 5 .

Warum können wir die Normalkraft und das Gewicht ignorieren? Das ist der Schlüssel zu all diesen Drehmomentproblemen - Sie müssen auswählen, was Sie für die Rotationsachse halten, also können Sie genauso gut etwas Bequemes auswählen. Oben habe ich implizit angenommen, dass wir an Rotation um den Massenmittelpunkt der Kugel denken . Gewicht und Normalkraft heben sich in der Welt auf F = M A , warum sind sie für dieses Problem in der Welt von irrelevant τ = ICH a wenn wir Rotationen um den Massenmittelpunkt betrachten? Außerdem haben wir die Reibung für die Annäherung an das Rollen ohne Rutschen vernachlässigt.

Versuchen Sie, die Aufgabe für Rotationen um den Kontaktpunkt zwischen dem Ball und dem Tisch erneut zu lösen, um zu sehen, ob Sie dieselbe Antwort erhalten. :)

Hallo, warum wird in diesem Fall Energie gespart? Kann es sich nicht um einen unelastischen Stoß handeln? Danke :)
@bobthelegend Sie müssen nicht davon ausgehen, dass die Kollision elastisch ist. Man kann sagen, dass die Endgeschwindigkeit ein Bruchteil der Anfangsgeschwindigkeit ist, v F = F v 0 , zum Beispiel, aber alles, was Sie wirklich tun werden, ist die Algebra ein wenig zu verkomplizieren. Außerdem, wenn Sie Billardkugeln auf einem echten Tisch beobachten, sind die Kollisionen ziemlich elastisch.
Ich verstehe. Ich habe noch eine Frage. Die Kraft (F), die der Überhang auf die Billardkugel ausübt, ist in Richtung ihrer Mitte gerichtet. Aber ich sehe, dass Sie sowohl für das Drehmoment als auch für den linearen Impuls dieselbe Kraft verwendet haben. Aber nur die horizontale Komponente der Kraft würde zum linearen Impuls beitragen?
"Die Kraft (F), die der Überhang auf die Billardkugel ausübt, ist auf ihre Mitte gerichtet." Warum denkst du, dass? Das kann nicht der Fall sein oder es könnte kein Drehmoment ausgeübt werden, das die Rotation der Kugel um ihren Massenmittelpunkt ändern würde. Sie können den vereinfachenden Annahmen "angenommene Leistenkraft war horizontal" hinzufügen.
Ich dachte so, als ob die Kraft Normalkraft ist und sie senkrecht zur Oberfläche stehen muss?
@bobthelegend senkrecht zu einer Ecke ist keine genau definierte Richtung. Außerdem wirken hier auch Reibungskräfte. Stellen Sie sich also die augenblickliche Bewegung des Teils des Balls vor, der die Kante berührt, kurz bevor er auftrifft – nach unten und nach rechts. Da Reibung der relativen Bewegung entgegenwirkt, erzeugt sie eine Kraft nach oben und nach links, wodurch ein längerer Hebelarm entsteht, um das Drehmoment hinzuzufügen. Sie können der Kraft eine nicht horizontale Komponente hinzufügen und sehen, welche Ergebnisse Sie erzielen, wenn Sie möchten.
Zusammenhang zwischen Winkel- und Linearimpuls
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