Elastischer Stoß zwischen einem Punkt und einem rotierenden Festkörper

Question

Elastischer Stoß zwischen einem Punkt und einem rotierenden Festkörper

Isao

Betrachten Sie ein punktweises Teilchen mit Masse $m_1$ und Geschwindigkeit $v_1$ , die mit einem Festkörper kollidiert $S$ von Masse $m_2$ , Rotationsträgheitsmatrix $J$ , Geschwindigkeit $v_2$ , und Rotationsgeschwindigkeit $\omega_2$ . Ich bezeichne mit $r$ der Vektor zwischen dem Trägheitszentrum des Festkörpers und dem Kollisionspunkt, und durch $n$ der Vektor senkrecht zur Begrenzung des Festkörpers am Kollisionspunkt. Der Stoß ist elastisch. Ich denke, dass diese Daten ausreichen, um die Geschwindigkeiten und den Drehimpuls des Festkörpers nach dem Stoß zu erhalten. Die Sache ist, dass ich nicht in der Lage bin, die Impulserhaltung richtig aufzuschreiben und die richtige Lösung zu erhalten. Ich konnte auch im Internet keine gute Antwort darauf finden ... Können Sie mir bitte helfen?

Ich sollte wohl erwähnen, dass ich Mathematik studiere und schon lange keinen Physikunterricht mehr hatte...

Das mag offensichtlich sein, aber das steht in einem nicht-relativistischen Kontext, obwohl mich das Lorentzsche Problem auch interessiert.

wahrscheinlich_jemand

Wo auf dem Festkörper kollidiert das Teilchen? Das ist eine notwendige Information, da sie bestimmt, wie viel Drehimpuls das Teilchen dem Festkörper verleiht.

John Alexiou

Du meinst die Rotationsgeschwindigkeit

ω_{2}

$\omega_2$ statt Schwung.

Gert

@probably_someone: kann AM reibungsfrei übertragen werden?

Agnius Wassilauskas

Können Sie uns ein Schema / Diagramm geben?

John Alexiou

Mögliches Duplikat von Nicht so einfaches Problem mit Impuls, Energie und Winkelgeschwindigkeit ...?

John Alexiou

Ich hoffe, Sie kennen sich mit Vektoren, dem Vektorpunktprodukt und dem Vektorkreuzprodukt aus. Sonst wirst du die Mathematik nicht verstehen.

Antworten (1)

Elastischer Stoß zwischen einem Punkt und einem rotierenden Festkörper

Wo auf dem Festkörper kollidiert das Teilchen? Das ist eine notwendige Information, da sie bestimmt, wie viel Drehimpuls das Teilchen dem Festkörper verleiht.
Du meinst die Rotationsgeschwindigkeit $\omega_2$ statt Schwung.
Mögliches Duplikat von Nicht so einfaches Problem mit Impuls, Energie und Winkelgeschwindigkeit ...?
Ich hoffe, Sie kennen sich mit Vektoren, dem Vektorpunktprodukt und dem Vektorkreuzprodukt aus. Sonst wirst du die Mathematik nicht verstehen.

John Alexiou · Answer 1

Die beiden Körper tauschen (skalaren) Impuls aus $p$ entlang der Kontaktnormale $\boldsymbol{n}$ , und über die Kontaktstelle $\boldsymbol{r}$ (relativ zum Schwerpunkt).

Hier ist eine schematische Darstellung der Situation

Der lineare Impuls ist von Natur aus ausgeglichen, da unabhängig vom Impulsvektor $p\, \boldsymbol{n}$ zu (2) addiert wird, wird es von (1) subtrahiert.

M_{1} v_{1} + M_{2} v_{2} = (M_{1} v_{1} - P N) + (M_{2} v_{2} + P N)

$m_1 \boldsymbol{v}_1 + m_2 \boldsymbol{v}_2 = \left( m_1 \boldsymbol{v}_1 -p \boldsymbol{n} \right) + \left(m_2 \boldsymbol{v}_2 + p \boldsymbol{n} \right)$

M_{1} v_{1} + M_{2} v_{2} = M_{1} v_{1}^{⋆} + M_{2} v_{2}^{⋆}

$m_1 \boldsymbol{v}_1 + m_2 \boldsymbol{v}_2 = m_1 \boldsymbol{v}_1^\star + m_2 \boldsymbol{v}_2^\star$

Wo $\square^\star$ sind die Werte nach dem Aufprall.

Ein ähnliches Argument kann für den Drehimpuls als Vektor angeführt werden $\boldsymbol{r} \times p\, \boldsymbol{n}$ wird zu (2) addiert und von (1) subtrahiert.

R \times M_{1} v_{1} + J_{2} ω_{2} = (R \times M_{1} v_{1} - R \times P N) + (J_{2} ω + R \times P N)

$\boldsymbol{r} \times m_1 \boldsymbol{v}_1 + \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega}_2 = \left( \boldsymbol{r}\times m_1 \boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{r} \times p\,\boldsymbol{n} \right) + \left( \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{r}\times p\,\boldsymbol{n} \right)$

R \times M_{1} v_{1} + J_{2} ω_{2} = R \times M v_{1}^{⋆} + R \times J_{2} ω_{2}^{⋆}

$\boldsymbol{r} \times m_1 \boldsymbol{v}_1 + \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega}_2 = \boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v}_1^\star + \boldsymbol{r} \times \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega}_2^\star$

Das Problem läuft darauf hinaus, den einen skalaren Impulsaustauschwert zu finden $p$ (normalerweise Impuls genannt). Dies wird durch das Kontaktgesetz erreicht, das die Relativgeschwindigkeit des Aufpralls mit der Relativgeschwindigkeit des Aufpralls in Beziehung setzt. Beachten Sie, dass ich Geschwindigkeit und nicht Geschwindigkeit gesagt habe, da nur die Geschwindigkeit entlang der Normalen $\boldsymbol{n}$ ist wichtig. Das Gesetz schreibt das vor $v_{\rm bounce} =-\epsilon\, v_{\rm impact}$ , Wo $\epsilon$ ist der Restitutionskoeffizient.

Hier werden Geschwindigkeiten vom Massenmittelpunkt zum Kontaktpunkt transformiert und entlang der Kontaktnormalen projiziert.

\begin{aligned} v_{ich M P A C T} & = N \cdot (v_{1} - v_{2} + R \times ω_{2}) \\ v_{B Ö u N C e} & = N \cdot (v_{1}^{⋆} - v_{2}^{⋆} + R \times ω_{2}^{⋆}) \end{aligned}

$\begin{aligned} v_{\rm impact} & = \boldsymbol{n} \cdot \left( \boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}_2 \right) \\ v_{\rm bounce} & = \boldsymbol{n} \cdot \left( \boldsymbol{v}_1^\star - \boldsymbol{v}_2^\star + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}_2^\star \right) \end{aligned}$

und von der Impulserhaltung, die Sie haben

\begin{aligned} M_{1} v_{1}^{⋆} & = M_{1} v_{1} - P N \\ M_{2} v_{2}^{⋆} & = M_{2} v_{2} + P N \\ J_{2} ω_{2}^{⋆} & = J_{2} ω + (R \times N) P \end{aligned}} \begin{aligned} v_{1}^{⋆} & = v_{1} - \frac{1}{M_{1}} P N \\ v_{2}^{⋆} & = v_{2} + \frac{1}{M_{2}} P N \\ ω_{2}^{⋆} & = ω_{2} + J_{2}^{- 1} (R \times N) P \end{aligned}

$\left. \begin{aligned} m_1 \boldsymbol{v}_1^\star & = m_1 \boldsymbol{v}_1 - p\,\boldsymbol{n} \\ m_2 \boldsymbol{v}_2^\star & = m_2 \boldsymbol{v}_2 + p\,\boldsymbol{n} \\ \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega}_2^\star &= \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega} + (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n}) p \end{aligned} \; \right\} \; \begin{aligned} \boldsymbol{v}_1^\star & = \boldsymbol{v}_1 - \tfrac{1}{m_1} p \boldsymbol{n} \\ \boldsymbol{v}_2^\star & = \boldsymbol{v}_2 + \tfrac{1}{m_2} p \boldsymbol{n} \\ \boldsymbol{\omega}_2^\star &= \boldsymbol{\omega}_2 + \mathbf{J}_2^{-1} ( \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n} )p \end{aligned}$

Die endgültige Gleichung, die aus dem Obigen zusammengestellt wurde und nach der gelöst werden soll $p$ Ist

N \cdot (- \frac{1}{M_{1}} N - \frac{1}{M_{2}} N + R \times J_{2}^{- 1} (R \times N)) P = - (1 + ϵ) N \cdot (v_{1} - v_{2} + R \times ω_{2})

$\boldsymbol{n} \cdot \left( - \tfrac{1}{m_1} \boldsymbol{n} - \tfrac{1}{m_2} \boldsymbol{n} + \boldsymbol{r}\times \mathbf{J}_2^{-1} ( \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n} ) \right) p = -(1+\epsilon)\, \boldsymbol{n} \cdot \left( \boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega}_2 \right)$

P = \frac{(1 + ϵ) N \cdot (v_{1} - v_{2} + R \times ω_{2})}{\frac{1}{M_{1}} + \frac{1}{M_{2}} - N \cdot (R \times J_{2}^{- 1} (R \times N))}

$\boxed{ p = \frac{(1+\epsilon)\, \boldsymbol{n} \cdot \left( \boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega}_2 \right)}{ \tfrac{1}{m_1} + \tfrac{1}{m_2} -\boldsymbol{n} \cdot \left( \boldsymbol{r}\times \mathbf{J}_2^{-1} ( \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n} ) \right)} }$

Jetzt zurück Ersatz $p$ in den obigen Ausdrücken für $\boldsymbol{v}_1^\star$ , $\boldsymbol{v}_2^\star$ Und $\boldsymbol{\omega}^\star$ .

_{Beachten Sie, dass $\cdot$ ist das Punktprodukt des Vektors, und $\times$ das Vektorkreuzprodukt. Beachte das auch $\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{n}=1$ .}

Das ist so klar! vielen Dank! Mich stört die Tatsache, dass die Erhaltung der kinetischen Energie nicht genutzt wird. Irgendeine Erklärung dafür?
Energie wird im allgemeinen Fall nicht erhalten, wenn der Restitutionskoeffizient ist $\epsilon<1$ oder beim Aufprall auf einen unbeweglichen Gegenstand $m_1 \rightarrow \infty$ .
Ich habe gerade festgestellt, dass meine Antwort fast identisch mit dieser Antwort ist .

Elastischer Stoß zwischen einem Punkt und einem rotierenden Festkörper

Isao

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John Alexiou

Gert

Agnius Wassilauskas

John Alexiou

John Alexiou

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John Alexiou

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Wie erhält man den Drehimpuls?

Verwenden der Erhaltung der kinetischen Energie, um den Drehimpuls nach einer Kollision zu finden

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