Normalkraft für ein Fahrrad an einer Steigung

Question

Normalkraft für ein Fahrrad an einer Steigung

Lincoln77

Im Allgemeinen weiß ich also, wie man die Normalkraft für ein Objekt an einer Steigung findet, aber dieses ist etwas schwieriger, da das Fahrrad im Wesentlichen zwei Normalkräfte hat:

Wo $L$ ist die Länge des Radstands und $h$ ist der Abstand zum Schwerpunkt.

Die Idee ist, den maximalen Neigungswinkel zu finden, bevor die Schwerkraft die Reibung zwischen Reifen und Straße überwindet, und angeblich in diesem Grenzfall $F=\mu N_{2}$ . Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich was herausfinden soll $N_{2}$ Ist.

Als Referenz ist hier die funktionierende (und unerklärte) Lösung:

Kümmere dich nicht so sehr um die numerische Antwort ganz am Ende, er hat nur die Werte unterschrieben, mich interessiert mehr die Herleitung.

Ich verstehe nicht wo $\frac{h}{L}\sin(\theta)+ \frac{1}{2}\cos(\theta)$ kam aus und ich verstehe auch nicht, warum Drehmomente verwendet wurden? Im Grunde verstehe ich nichts davon.

rmhleo

Wenn Sie das 2. Newtonsche Gesetz für x-Komponenten und für y-Komponenten der Kräfte schreiben, dann haben Sie ein Gleichungssystem, aus dem Sie diese Beziehungen erhalten würden.

Lincoln77

Ich bekomme

m g c o s (θ) = N_{1} + N_{1}

$mgcos(\theta)=N_{1}+N_{1}$ Und

m g s i n (θ) = μ N_{2}

$mgsin(\theta) = \mu N_{2}$ . Ich sehe immer noch nicht wo

\frac{h}{L}

$\frac{h}{L}$ kam aus?

rmhleo

Ja ich sehe. Ich bin mir auch nicht sicher, warum N1 und N2 nicht gleich genommen werden, da der Schwerpunkt im geometrischen Zentrum liegt.

Steeven

N_{1}

$N_1$ Und

N_{2}

$N_2$ müssen nicht gleich sein, selbst wenn sie symmetrisch um den Massenmittelpunkt angeordnet sind. Wenn das Fahrrad senkrecht auf einem Rad stehen würde, wäre das immer noch symmetrisch, aber das untere Rad würde die ganze Normalkraft spüren und das andere Rad keine. Der Trick bei dieser Frage besteht darin, das Unbekannte zu vermeiden

N_{1}

$N_1$ - weshalb sie mehrmals die Drehmomentbilanz anstelle des Newtonschen Gesetzes verwenden. Siehe die Antwort unten.

rmhleo

Ja, der Fall, den Sie angeben, ist der einzige Fall, in dem dies möglich ist, und beinhaltet, in einem Rad zu stehen. Wenn es zwei Stützpunkte gibt, teilen sie definitiv die Last, es sei denn, es gibt eine Asymmetrie der Gewichtsverteilung.

Steeven

Aha, ich verstehe deinen Punkt @rmhleo. In diesem Fall gibt es keinen Grund, die Drehmomentbilanz anstelle des Newtonschen Gesetzes noch einmal zu verwenden.

John Alexiou

Kräftegleichgewicht plus Drehmomentgleichgewicht bringt das System ins Gleichgewicht (zumindest bei konstanter Drehzahl).

Antworten (1)

Normalkraft für ein Fahrrad an einer Steigung

Wenn Sie das 2. Newtonsche Gesetz für x-Komponenten und für y-Komponenten der Kräfte schreiben, dann haben Sie ein Gleichungssystem, aus dem Sie diese Beziehungen erhalten würden.
Ich bekomme $mgcos(\theta)=N_{1}+N_{1}$ Und $mgsin(\theta) = \mu N_{2}$ . Ich sehe immer noch nicht wo $\frac{h}{L}$ kam aus?
Ja ich sehe. Ich bin mir auch nicht sicher, warum N1 und N2 nicht gleich genommen werden, da der Schwerpunkt im geometrischen Zentrum liegt.
$N_1$ Und $N_2$ müssen nicht gleich sein, selbst wenn sie symmetrisch um den Massenmittelpunkt angeordnet sind. Wenn das Fahrrad senkrecht auf einem Rad stehen würde, wäre das immer noch symmetrisch, aber das untere Rad würde die ganze Normalkraft spüren und das andere Rad keine. Der Trick bei dieser Frage besteht darin, das Unbekannte zu vermeiden $N_1$ - weshalb sie mehrmals die Drehmomentbilanz anstelle des Newtonschen Gesetzes verwenden. Siehe die Antwort unten.
Ja, der Fall, den Sie angeben, ist der einzige Fall, in dem dies möglich ist, und beinhaltet, in einem Rad zu stehen. Wenn es zwei Stützpunkte gibt, teilen sie definitiv die Last, es sei denn, es gibt eine Asymmetrie der Gewichtsverteilung.
Aha, ich verstehe deinen Punkt @rmhleo. In diesem Fall gibt es keinen Grund, die Drehmomentbilanz anstelle des Newtonschen Gesetzes noch einmal zu verwenden.
Kräftegleichgewicht plus Drehmomentgleichgewicht bringt das System ins Gleichgewicht (zumindest bei konstanter Drehzahl).

Steeven · Answer 1

Warum Drehmomente verwenden? Weil Sie drei Unbekannte haben, $\theta$ , $F$ Und $N_2$ und das erfordert drei Gleichungen. Sie haben auch $N_1$ als unbekannt, aber durch die Verwendung von Drehmomenten können Sie das loswerden! Ich würde zuerst den Drehmomentteil (die zweite Hälfte der Antwort), dann das Newtonsche Gesetz und dann die Reibungsmodellformel (die erste Hälfte) machen.

Normalkraft finden $N_2$ indem man den Drehmomentausgleich um Punkt A macht (jetzt $N_1$ sowie Reibung $F$ egal):
$\sum τ = 0 \Leftrightarrow τ_{N_{2}} - τ_{w_{X}} - τ_{w_{j}} = 0 \Leftrightarrow N_{2} L - w_{X} H - w_{j} \frac{L}{2} = 0 \Leftrightarrow N_{2} L - M G Sünde (θ) H - M G \cos (θ) \frac{L}{2} = 0 \Leftrightarrow N_{2} L = M G (Sünde (θ) H + \cos (θ) \frac{L}{2}) \Leftrightarrow N_{2} = M G (Sünde (θ) \frac{H}{L} + \cos (θ) \frac{1}{2})$ $\sum \tau = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \tau_{N_2}-\tau_{w_x}-\tau_{w_y}= 0 \quad\Leftrightarrow\quad N_2L-w_xh-w_y\frac{L}{2}= 0 \quad\Leftrightarrow\quad\\ N_2L-mg\sin(\theta)h-mg\cos(\theta)\frac{L}{2}= 0 \quad\Leftrightarrow\quad N_2L=mg\left(\sin(\theta)h+\cos(\theta)\frac{L}{2}\right) \quad\Leftrightarrow\quad\\ N_2=mg\left(\sin(\theta)\frac{h}{L}+\cos(\theta)\frac{1}{2}\right)$
Reibung finden $F$ mit Newtons 1. Gesetz entlang der Steigung:
$\sum F_{X} = 0 \Leftrightarrow F - w_{X} = 0 \Leftrightarrow F - M G Sünde (θ) = 0 \Leftrightarrow F = M G Sünde (θ)$ $\sum F_x=0 \quad\Leftrightarrow\quad F-w_x=0 \quad\Leftrightarrow\quad F-mg\sin(\theta)=0 \quad\Leftrightarrow\quad F=mg\sin(\theta)$
Und jetzt finden Sie den kritischen Winkel $\theta$ aus dem Reibungsmodell:
$F = μ N_{2} \Leftrightarrow M G Sünde (θ) = μ M G (Sünde (θ) \frac{H}{L} + \cos (θ) \frac{1}{2}) \Leftrightarrow Sünde (θ) = μ Sünde (θ) \frac{H}{L} + \cos (θ) \frac{μ}{2} \Leftrightarrow Sünde (θ) (1 - μ \frac{H}{L}) = \cos (θ) \frac{μ}{2} \Leftrightarrow bräunen (θ) (1 - μ \frac{H}{L}) = \frac{μ}{2} \Leftrightarrow bräunen (θ) = \frac{μ}{2 (1 - μ \frac{H}{L})} \Leftrightarrow bräunen (θ) = \frac{L μ}{2 (L - μ H)} \Leftrightarrow θ = \arctan (\frac{L μ}{2 (L - μ H)})$ $F=\mu N_2 \quad\Leftrightarrow\quad\\ mg\sin(\theta)=\mu mg\left(\sin(\theta)\frac{h}{L}+\cos(\theta)\frac{1}{2}\right) \quad\Leftrightarrow\quad\\ \sin(\theta)=\mu \sin(\theta)\frac{h}{L}+ \cos(\theta)\frac{\mu}{2} \quad\Leftrightarrow\quad\\ \sin(\theta)\left(1-\mu\frac{h}{L}\right)= \cos(\theta)\frac{\mu}{2} \quad\Leftrightarrow\quad\\ \tan(\theta)\left(1-\mu \frac{h}{L}\right)=\frac{\mu}{2} \quad\Leftrightarrow\quad\\ \tan(\theta)=\frac{\mu}{2\left(1-\mu \frac{h}{L}\right)} \quad\Leftrightarrow\quad\\ \tan(\theta)=\frac{L\mu}{2\left(L-\mu h\right)} \quad\Leftrightarrow\quad\\ \theta=\arctan\left(\frac{L\mu}{2\left(L-\mu h\right)}\right)$

$N_1$ wird nie eingeführt. Deshalb wird der Drehmomentausgleich verwendet. Das Newtonsche Gesetz in y- und x-Richtung könnte natürlich auch verwendet werden, aber könnte nicht ausreichen, weil sie diese vierte Unbekannte einführen würden $N_1$ . Dann bräuchte man ohnehin eine vierte Gleichung wie die Momentenbilanz.

Das ist es. Ich möchte nur anmerken, dass die implizite Annahme, dass sich die Reibung nur auf N2 bezieht (es gibt nur Reibung am Hinterrad), nicht offensichtlich ist und der Festlegung des Massenschwerpunkts im geometrischen Zentrum widerspricht.
@rmhleo Stimmt. Ich glaube, es wird davon ausgegangen, dass am Hinterrad Bremsen angelegt werden, während sich das Vorderrad frei drehen kann (also keine Reibung). Sonst wären zwei Reibungen entlang der Böschung vorhanden, $F_1=\mu N_1$ Und $F_2=\mu N_2$ .
Hey, danke Jungs, das ist wirklich hilfreich :) obwohl ich immer noch nicht verstehe, wie sie am Ende braun wurden
@ Lincoln77 Sie haben $\tan$ aus der Beziehung: $\frac{μ}{2} \cos θ = Sünde θ (1 - μ \frac{H}{L}),$ $\dfrac{\mu}2\cos\theta=\sin\theta\left(1-\mu\dfrac hL\right),$ indem man beide Seiten durch dividiert $\cos \theta$ Und $1-\mu\dfrac hL$ .
@ Lincoln77, ich habe jetzt die restliche Algebra hinzugefügt. Es ist einfach eine mathematische Neuordnung und Verwendung der Korrelation: $bräunen (θ) = \frac{Sünde (θ)}{\cos (θ)}$ $\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ Alle Ausdrücke, die Sie in der gegebenen Antwort sehen, finden Sie irgendwo in meiner Antwort oben. Vielleicht haben sie die ganze Rechnung in einer anderen Reihenfolge gemacht, aber das Ergebnis und damit die endgültigen Ausdrücke für die verschiedenen Terme sind am Ende alle gleich.
ah isee, das habe ich gestern Abend versucht, aber ich muss irgendwo einen dummen Fehler gemacht haben, danke!

Normalkraft für ein Fahrrad an einer Steigung

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